固体物理课后习题解答(黄昆版)第三章

黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ=anjjsin(ωj_j+σj)，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn=∑μnj=∑ajsin(ωjtnaqj+σj)jj（1）μ2n=⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠=∑μj2nj+∑μμnj*nj′jj′由于μμnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2=∑μ2njnj由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ2=1T∫02ω+σ12jajsin(tnaqjjj)dta=j（2）T002已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1LT⎡1⎛dμ⎞2⎤ρwa2T1=∫∫dx0⎢ρnj⎥=jj∫02ω+σ=ρ22T⎜⎟dtLasin(tnaq)dtwLanjT000⎢2⎝dt⎠⎥2T00jjjj4jj其中L是原子链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。1221所以Tnj=ρwLajj=KT（3）42μKT因此将此式代入（2）式有nj2=ρωL2jμ所以每个原子的平均位移为2==∑μ2=∑KT=KT∑1nnjρωL2ρLω2jjjjj3.2讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其2N格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华-1-黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……质量为m的原子位于2n，2n+2，2n+4……牛顿运动方程：..mμ2n=−βμ(22n−μ2n+1−μ2n−1)..Mμ2n+1=−βμ(22n+1−μ2n+2−μ2n)体系为N个原胞，则有2N个独立的方程inaq方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2)]μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]naqμ=将μ2n=Ae[ωt−(2)]2n+1Bei[ωt−(2n+1)aq]代回到运动方程得到若A、B有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华-2-第一布里渊区允许q的数目黄昆固体物理习题解答对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总的格波数目为2N。当M=m时——两种色散关系如图所示在长波极限(q→0，λ0)情况下：当q→0——与一维单原子晶格格波的色散关系一致。3.3考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为ca和10c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为2．求在k=0和Hk=πa处的ω()．大略地画出色散关系．此问题模拟如2这样的双原子分子晶体。解a/2c10c•us−12duvs−1(o)us•(ovs)•us+1ovs+1Ms=CVs−1−u+10CV−u，dt22sssdV()+()Mdt2s=10Cus−VsCus1+−Vs,将us=ueisKa•e−it,Vs=VeisKa•e−it.代入上式有解答（初稿）作者季正华-3-−2(黄昆固体物理习题解答+e−ika)V−MωuC1011Cu,−2(ika+)u−MωV=Ce1011CV,是U，v的线性齐次方程组，存在非零解的条件为Mω2−11,(10+e−iKa)=0，解出(iKa+10),Mω2−11CωM24−ω2+22MC220C(1−conKa)0ω±∴2=C⎡(−)⎤11±121201conKa.M⎣ω+2=CM22/,⎦ω220/CM,当K=0时，ω−2=0,当K=π/a时+ω2=2/CM,−ω2与K的关系如下图所示．这是一个双原子(例如H2)晶体。3.4考虑一个全同原子组成的平面方格子，用μ,记第l行，第m列的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为M，最近邻原子的力常数为c。d2μ（a）证明运动方程为：M(,)=c[(μ+μ+−−2μ)+(μdt2+μl1,ml1,m−2μ)],μ,+1=μ(0)exp[(,−1,)]（b）设解的形式为,ilkamkaxy−ωt，这里a是最近邻原子间距，证明运动方程是可以满足的，如果2ωM=2[2cos(kax)cos(kya)]这就是色散关解答（初稿）作者季正华-4-系。黄昆固体物理习题解答2π（c）证明独立解存在的k空间区域是一个边长为a的正方形，这就是平方格子的第一布里渊区，构出kkx，而ky=0时，和kx=ky时的ω−k图。ca2ω=1/2k2+k21/2=21/2()(xy)caMk(/)（d）对于ka1，证明Mμ−μ证明:(a)左方原子与它的相对位移为,,−1，右方原子与它的相对位移为μ−μ，下方原子与它的相对位移为μ,+1−μ,，上方原子与它的相对位移为,l−1,mμl+1,m−μ,，并考虑到力的方向性，得到上面平面格子的每个原子的力学方程为：d2μM(,dt2)=c(μ−μ,+1,)−c(μ,−μ,−1)+c(μ+l1,m−μ,)−c(μ,−μ−l1,m)所以原命题的证。=c[(μ++μ−−2μ)(μ+μ−2μ)]l1,ml1,m,,+1,−1,μ(b)根据题意，,d2μ=μ(0)exp[(ilkamkaxy−ωt)]为平面格子原子的运动方程M(,)=c[(μ+μ+−−2μ)+(μdt2+μl1,ml1,m−2μ)],的解，,+1,−1,μ因为,=μ(0)exp[(ilkamkaxy−ωt)]①所以可以得到μl+1,m=μ(0)exp{[(+1)kamkaxy−ωt]}μl−1,m=μ(0)exp{[(1)kamkaxy−ωt]}②③μ=μ(0)exp[(ilka+(m+1)ka−ωt)],+1xy④μ,−1=μ(0)exp[(ilka+(m−1)ka−ωt)]xy⑤将①②③④⑤式代入平面格子原子的运动方程则容易得到得到色散关系（这里代入过程从略，请自己代入计算）：2ωM=2[2cos(kax)cos(kya)]解答（初稿）作者季正华-5-2黄昆固体物理习题解答（c）由色散关系ωM=2[2cos(kax)cos(kya)]和周期性边界条件可以得到∈−ππ]kx(,πky∈−(π,]，所以独立解存在的kaaaa2π空间区域是一个边长为a的正方形。当kkx，且ky=0时的ω−k图，和当kx=ky时的ω−k图，如右图所示。3.5已知Nacl晶体平均每对离子的相互作用能为Ur()=−αe2+βn其中马德隆常数α＝1.75，n＝9，平均离子间距r0=2.82Å。（1）试求离子在平衡位置附近的振动频率rr（2）计算与该频率相当的电磁波的波长，并与Nacl红外吸收频率的测量值61μ进行比较。3.6计算一维单原子链的频率分布函数ρω()解：设单原子链长度L＝Naq=2π×hq=2πNa波矢取值Na每个波矢的宽度NadqNa,状态密度2πdq间隔内的状态数2π，对应±q，ω取相同值ρω()dq2Nadq因此=×2π解答（初稿）作者季正华-6-β黄昆固体物理习题解答aq一维单原子链色散关系,ω2=4sin(2)m2ω0=4βaqωω=0sin()令m，ωω=a2aq两边微分得到d0cos()dq22cos(aq)=1ω2ωω=aaq22−ω0代入到d0cos()dq将22ω=da2ω−ω22,=2adωω−ω2×Na2πdq0=×2Na22πadωω−ω222202ρω()=N01πω−ω22频率分布函数03.7设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有ω()=ω0−Aq2V1(0)1/2ωω求证：f()=4π2A3/2ωω−,0;f()0,=ωω0.ωωωω=2=解：0时，0Aq0()0,ωω⇒ωω−=212(ωω−1)200Aq⇒=qA0r依据∇qωω()=−2Aqf,()r=V()3ds∫∇qω()，并带入上边结果有1/2fV()=()π3⋅∇dsω=V()π3⋅12(πωω40−)(Aωω)1/2=V()π2⋅13/2(ωω0−)1/2q()2A0−A3.8有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T2。证明：在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积2πndn，且2πndn=L22πkdk=52π()kdk即ρω=3sω2πvρ2dω则解答（初稿）作者季正华-7-黄昆固体物理习题解答2⎛hω⎞⎛hω⎞E=3sω∫mh2d+E=3skT(B)3ω∫Dh⎜⎝kTBd⎟⎜⎠⎝kTB⎟⎠=3skT(B)3x∫D2xdxπ2hω/kTB−0π22hω/kT−π2x−，2→vρ0e3∴1∂E2∝vρ2hDeB12vρh2De1T0时，E∝T,Cv=()sT∂T3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为FU0+kTB∑ln⎛⎜hωq⎞kT⎟q⎝B⎠⎡∑⎢ω1hq+⎛⎜−−hωq⎞⎤kT⎟⎥证明:量子谐振子的自由能为FUkTl1eBBn⎜⎟⎢2kT⎝⎠⎥k经典极限意味着（温度较高）BTx2hωgq⎣B⎦应用e=−+1xx+hω...2−所以eqkTB=−1ωhq+⎛⎜ωhq⎞⎟+...kTB⎝kTB⎠1⎛hω⎞⎛hω⎞≅+∑因此FUωh+∑kTl−+⎜11q⎟≅U+kTl⎜q⎟2qBnkT0BnkTq其中U0≅+U∑1q2hωqq⎝B⎠12hω⎝B⎠3.10设晶体中每个振子的零点振动能为的零点振动能。，使用德拜模型求晶体证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能E0就是各振动模零点能之和。Eω=∫mE()()ωωd将E()=1ωh和g()=3Vω2代入积分有3Vω090ω0ωθ029θ2π2vs3E=π4=hN，由于h=k得E=NkD023m8mmBD0B16vs8一股晶体德拜温度为~102K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热解答（初稿）作者季正华-8-能相比拟．黄昆固体物理习题解答3.11一维复式格子m=×51.6710−24g,104/),求：（1）光学波ωmax0,ωmin0，声学波ωAmax。（2）相应声子能量是多少电子伏。（3）在300k时的平均声子数。01M=4,β=1.510/m(1.51×（4）与ωmax相对应的电磁波波长在什么波段。解（1），ωAmax=2β=21.5104×/24=3.001013s−1,β(M)451.6710()×Mm4××+×24/ωo=2=21.5104551.6710=13−1max24246.7010s2βMm21.5104451.6710×××51.6710/ωA===13−1maxmωA=2451.6710−16×5.991013−1=s−2ehmax6.58105.9910s1.9710Vωo（2）hmax=6.5810−16×13s−1=6.70104.4110−2eVωohminnA==−16×6.5810113s−1=3.0010=0.873,nO−23.95101=eV=0.221（3）maxnO=ωAehmax1/kTB−1=0.276maxωOehmax/kTB−1minO/kT2ehωminB−1（4）λ=πc=28.1μmω解答（初稿）作者季正华-9-