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4.1，根据k黄昆固体物理习题解答第四章能带理论=±π状态简并微扰结果，求出与E−及E+相应的波函数ψ−及ψ+?，并说明它a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布ψ2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。＜解＞令k=+π，k′=−π，简并微扰波函数为ψ=Aψk0()+Bψk0()0a*a⎡Ek()−EAVBn=00()VAn+⎡Ek−EB⎦=0取EE+带入上式，其中E+=Ek0()+VnV(x)0,Vn0,从上式得到B=-A,于是A⎡nπ−nπ⎤πψ=A⎡ψ0()−ψk0′()⎤=ixea−eixa=2Asinnx+⎣k⎢L⎣⎥⎦La取EE−，E−=Ek0()−VnVAn=−VBn,得到ABA⎡inπx−inπx⎤πψ=A⎡ψ0()−ψk0′()⎤=ea−ea=2Acosnx−⎣k⎦⎢L⎣⎥⎦La由教材可知，Ψ+及Ψ−均为驻波．在驻波状态下，电子的平均速度ν()为零．产生驻波因为电子波矢nkπ=时，电子波的波长aλ=2π=2a，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。4.2,写出一维近自由电子近似，第n个能带(n=1，2，3)中，简约波数kπ=的0级波函数。2a11r2π1π2π1i2π1ximxiximx(m+)ψ*＜解＞()=ikx=eikxaee=e2a⋅ea=ea4kL⋅π=L*Lπ1i2xL第一能带：m0,m=0,ψ()=ea2abb′则b′→,k2π⋅=−L2π,m=−1,i2πxiπ∴ψ*()=13πixe第二能带：aa即（ea=e）2akL2a2π2π1π2π15π第三能带：c′→,⋅=aa即m=,*1,ψk()=Lixixe2a⋅ea=Lixe2a解答（初稿）作者季正华-1-4.3电子在周期场中的势能．黄昆固体物理习题解答12222mω⎡b−−(xna⎤),当nabxnab+Vx()=0，当(n-1)a+b≤≤xnab−其中d＝4b，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见，Vx()是个以a为周期的周期函数，所以Vx()=1∫VxL()=1∫a()=1ab()Laba∫−b题设a=4b，故积分上限应为ab−=3b，但由于在[bb,3]区间内[−,]区间内积分．这时，n=0，于是Vx()0=，故只需在=1∫b=mω2∫b22=mω2⎡2b−1x3b⎤=1mωb2V()b−xdx)(bx⎢−b−b⎥。a−b2a−b2a⎣3⎦6（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数Vx()=V+∞∑′Vmπ=2∫2bVxmπxdx=1b∫Vxmπxdx0=−∞mmcos2b,m2b0()cos2bb0()cos2b第一个禁带宽度E=V以m=1代入上式,E=mω2∫b22(b−x)cosπxdxg2,g11u(1b)022b利用积分公式2∫u2cosmudu=m⎡2⎣musinmu+2cosmu⎤−⎦m3sinmu得Eg1=π16mωb2第二个禁带宽度=V以m=2代入上式,代入上式3ω2mbπxEg222,22mωbEg2=b∫022(b−x)cosbdx再次利用积分公式有Eg2=π224.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带解答（初稿）作者季正华-2-Es(kv)函数黄昆固体物理习题解答解：面心立方晶格——s态原子能级相对应的能带函数s(v)=εs−J0−∑v−ikv⋅RvEkJ(Rs)es=RsNearest——s原子态波函数具有球对称性vv=−∫ϕξ−vvv0vvξJJR0*RUd01=()s()[()ξ−V()]()}svε=−i∑svv−⋅iEk()sJ0−J1RNearesteikRss——任选取一个格点为原点——最近邻格点有12个12个最邻近格点的位置⎧aa⎧aa⎧aa⎪⎪⎪2a,−2a,0⎪0,⎪⎪2a,−2a⎪⎪⎪2a,0,−2a⎪⎨2,2,00,⎪⎨2,2⎪⎨2,0,2⎪⎪⎪⎪−a2a,a2a,0⎪0,⎪⎪⎪−a2a,a2a⎪⎪⎪⎪−a2a,0,a2a−,−,00,−,−−,0,−⎩22ava⎩2v2⎩22v=i+vj+0kvsEk()ε=−J∑vv−⋅eikRsRs22s0−J1RNearestvvvvvavav+v−as−⋅ikRs=−(++xyz)(i+j0)=i2(kx+ky)2−acee22kaekab4——类似的表示共有12项=ka−kay−(cosx2isinx)(cos22isiny)2——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带Eks()v=εs−J0kakakakakaka−J4(cos1xcosy+cosxcosz+cosycosz)222222——对于体心立方格子，任选取一个格点为原点解答（初稿）作者季正华-3-⎧aaa⎧a黄昆固体物理习题解答aa⎪⎪2,2,2⎪⎪2,−2,2⎪⎪⎨−a2,−a2,−a2⎪⎪⎨−a2,a2,−a2⎪⎪⎪⎪−a,2a,−a,2a,−a2a⎪⎪⎪⎪−a,2a,−a,2a,−a2a⎩222⎩222avaavv=i+vj+kvRssEk()ε=s−J0−J1∑evv−⋅ikRs222RNearestvvvvvavavav−as−⋅ikR=−(++)(i+j+k)=i(k++kk)esekaxyzka222kae2xyzkakaka——类似的表示共有8项=(cosx2−isinx)(cos2y2−isiny)(cos2z2−isinz)2——归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带kakakasv=ε−−xyzEk()JJ8coscoscoss012224.7,有一一维单原子链。间距为a。总长度为Na。求（1），用紧束缚近似求出原子s态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子s态只有一个电子，求等于T=0K的费米能级EF0及EF0处的能态密度。rε=−ika−ikaε=−−JkaE−JkaJ−Je+e)J2cos2cos＜解＞(1),()rs01(⎤s0101()⎢⎡Ek=−EJ⎣0−∑()s−⋅ikRrs⎥⎦NEL=××2dk=2Na×1=N(2),()2πdEπJakaπJsinka22sin10rNa12Nak0π(3),N=∫kF⋅2()2dk=⋅2⋅2k0=F∴k0=000=−ππ2Fπ0=FN2a=NE=Ek()EJ2cosaENE,(F)πFF12asπJ1sin2a⋅aπJ14.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7＜解＞（a）二维简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子晶格基矢A=2πˆiBa解答（初稿）作者季正华-4-,=2πˆa第一布里渊区如图所示πaπ黄昆固体物理习题解答−0a−πππ⎛⎞⎛⎞jˆ=ˆ,BKˆ+=⎜⎟⎜⎟.区边中点的波矢为KA2a角顶点的波矢为Ba⎝⎠a⎝⎠ε=h(222)自由电子能量2mKx+Ky+Kzπ2,π2εh2h2⎛⎞h2⎛⎞A点能量A=2=Kx⎜⎟=⎜⎟,2m⎝⎠2ma⎝⎠2ma⎡π2π2⎤⎡π2⎤22⎛⎞⎛⎞2⎛⎞ε=h(22)=h+=h2B点能量BKx+Ky⎢⎜⎟⎜⎟⎥⎢2⎜⎟⎝⎠⎥,所以εε/BA=2m2m⎢⎝⎠a⎝⎠a⎥⎦2πm⎢⎣a⎥⎦ππA=⎛2⎞ˆiB=⎛2⎞ˆjC=⎛⎞2ˆk,b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为第一布里渊区如图7—2所示．2⎜⎟,⎝a⎠⎜⎟⎝a⎠,⎜⎟⎝a⎠2πA点能量ε==h⎜⎟⎛⎞A2ma⎝⎠;解答（初稿）作者季正华-5-2黄昆固体物理习题解答2⎡π2π2π2⎤2⎡π2⎤εh()h⎛⎞⎛⎞⎛⎞=h⎛⎞B点能量=222=++BKx+Ky+Kz⎢⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎥⎢3⎜⎟⎝⎠⎥,所以εεB/2mA=3⎝⎠⎝⎠a⎝⎠a2m⎢a⎥⎦m2⎢⎣a⎥⎦(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子ε=h2(222)理论，自由电子的能量为2mKx+Ky+Kz3，FerM面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体积4ππ⎛⎞⎜⎟，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为ππ3π3⎝⎠a43⎛⎞⎜⎟⎝⎠a2V()3=3N=1.047N其中V=Na3二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B点的能员比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．4.9半金属交叠的能带22Ek=E(0)−hk,m=0.18m1()12m11h2vvEk()=()+(kk02),m2=0.06m2Ek202m2其中E1(0)为能带1的带顶，Ek2()0为能带2的带底.E1(0)−Ek2()0.10eV由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论T=0K时的费密能级解：半金属的能带1和能带2如图所示22Ek=E(0)−hk1()12m1h2vvEk=()+(kk)22()Ek202m20k=2[(0)mE11−Ek1()]h解答（初稿）作者季正华-6-能带1的能态密度黄昆固体物理习题解答2NE=VdSk()2∫∇∇=h1∇=h(2)3kEkEm1NE=VdSkENE=E2[(0)1−Ek1()]/m1V4πk21()2(2)3∫∇kE1()23(2)h2[(0)E1−Ek1()]/m13NE()=2V2m()12E(0)−Ek()1221(2)h同理能带2的能态密度3NE()=2V(2m)Ek()−Ek()2222220(2)h半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足EE01(0)∫NEdE=F∫NEdEE0FE1()VmE2(k0)32()02(231(0)∫2(2)−EkdE()=EF∫Vm)Ek()−EkdE()2212E1(0)12222220E0F(2)3h3E1(0)3E2(k0)(2)3hE0F−m2[(0)−Ek()]2=m2[()Ek−()]21E110EF22Ek20E2(k0)−E0=mE0−()][(0)F]2[FEk20mE11mE(0)+mE(k)0E=11220(m1=V)0.18,mm2=0.06mE1(0)−Ek2()0.10eF0=EFm+m12Ek2()0.0750eV4.12，正方晶格．设有二维正方晶格，晶体势为Uxy()⎛2πx⎞⎛2πy⎞⎛ππ⎞=−4cos⎜⎝acos⎟⎜⎠⎝a⎟.⎠用基本方程，近似求出布里渊区角⎜,⎝aa⎠⎟处的能隙．ˆˆ＜解＞以ˆˆ表示位置矢量的单位矢量，以bb12表示倒易矢量的单位矢量，则有，解答（初稿）作者季正华-7-黄昆固体物理习题解答ˆ+ˆ,ˆˆ2π(ˆˆ)r=xiyiGGb11+Gb22=gb+gb,gg为整数。a112212晶体势能Uxy()=−⎛2πx⎞⎛2πy⎞⎛2π4cos2π⎜⎝a⎞⎛cos⎟⎜⎠⎝2πa⎠⎟.2π⎞ix−ixiy−iy∑()()=−UrUeσ+eσ⎟⎜eσ+eσ⎟iGUe⎝⎠⎝⎠G()G()其中UG()=−U，而其他势能傅氏系数UG()=UG()20==...0。这样基本方程(λεk−)()+∑GG(−)0变为(λ−ε)()()G()()G()()+()=0