单自由度体系对简谐和周期荷载的反应.

结构动力学第四章单自由度体系对简谐和周期荷载的反应单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。不仅工程中实际存在这种形式的荷载，而且简谐荷载作用下单自由度体系的解提供了了解结构动力特性和用于分析更复杂荷载作用反应的手段和方法。4.1无阻尼体系的简谐振动运动方程：其中：p0—简谐荷载的幅值；ω—简谐荷载的圆频率。初始条件：tpkuumsin0)0(,)0(00uuuutt4.1无阻尼体系的简谐振动运动方程是带有初值条件的二阶常微分方程，全解=齐次方程的通解+特解通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc为无阻尼自由振动：c-complementarytpkuumsin0mktBtAtunnnc/sincos)(4.1无阻尼体系的简谐振动特解—满足运动方程的解，记为up(t)，是由动荷载p0sinωt直接引起的振动解。设特解为：其中，ω/ωn—频率比，外荷载的激振频率与结构自振频率之比；p—particulartpkuumsin0tDtCtupcossin)(0,)/(1120DkpCn4.1无阻尼体系的简谐振动全解=通解+特解待定系数A、B由初值条件确定tkptBtAtututunnnpcsin)/(11sincos)()()(2020)/(1/)0()0(nnnkpuBuA)0()0(00uuuutt4.1无阻尼体系的简谐振动满足初始条件的解：瞬态反应和稳态反应tkptkpututunnnnnnsin)/(11sin)/(1/)0(cos)0()(2020瞬态反应稳态反应4.1无阻尼体系的简谐振动稳态反应：u0—稳态反应的振幅：ust—等效静位移，或静位移：Rd—动力放大系数：tkptunsin)/(11)(20kpust0200)/(11nkpu20)/(11nstduuR4.1无阻尼体系的简谐振动无阻尼体系动力放大系数①ω=0，Rd=1②ω=ωn，Rd→∞发生共振③ω/ωn≥√2，Rd≤120)/(11nstduuR4.1无阻尼体系的简谐振动无阻尼体系共振时动力反应时程共振时(ω=ωn)：()cos2stpnnuuttt4.2有阻尼体系的简谐振动运动方程：初始条件：利用c=2mωnζ，并将运动方程两边同除m，得到如下形式的运动方程：tpkuucumsin0)0(,)0(00uuuutttmpuuunnsin2024.2有阻尼体系的简谐振动通解uc对应于有阻尼自由振动反应：特解up可以设为如下形式:tmpuuunnsin202)sincos()(tBtAetuDDtcntDtCtupcossin)(0cos)(2sin2)(22022tDCtmpDCnnnn4.2有阻尼体系的简谐振动运动方程的全解：u(t)=uc+up：2222222)]/(2[])/(1[/2)]/(2[])/(1[)/(1nnnstnnnstuDuC0)(1)2()2()(122DCuDCnnstnntDtCtBtAetuDDtncossin)sincos()(4.2有阻尼体系的简谐振动有初始条件影响的动力反应时程4.2有阻尼体系的简谐振动（1）共振反应（ω=ωn）满足零初始条件运动解：当ζ=0时：与无阻尼时的结果完全相同2222222)]/(2[])/(1[/2)]/(2[])/(1[)/(1nnnstnnnstuDuC2,0stuDCststuBuA2121,21ttteutunDDtstncos)sin1(cos2)(2ttutunnstcos2)(tutBtAetustDDtncos2)sincos()(（1）有阻尼体系的共振反应（ω=ωn）有阻尼体系共振反应时程4.2有阻尼体系的简谐振动（2）动力放大系数Rd（dynamicmagnificationfactor）振动的稳态解：u0—稳态振动的振幅φ—相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系)sin(cossin)(0tutDtCtu)(tan,1220CDDCu212220)/(1)/(2tan)]/(2[])/(1[1nnnnstuu2222222)]/(2[])/(1[/2)]/(2[])/(1[)/(1nnnstnnnstuDuC静位移kpust0动力放大系数定义为：2220)]/(2[])/(1[1nnstuustduuR0222)]/(2[])/(1[1nndR222)]/(2[])/(1[1nndR(1)当21时，1dR，即体系不发生放大反应。(2)当21时，22max21)(,121)(峰值ndR。(3)当1/n（共振时），21dR。(4)当2/n时，1dR，对任意ζ均成立。4.2有阻尼体系的简谐振动（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系在动力荷载的作用下，有阻尼体系的动力反应（位移）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。这个滞后的时间即由相角φ反映，如果滞后时间为t0，则φ=ωt0（t0=φ/ω）。由计算φ的公式可知，滞后的相角与频率比ω/ωn和阻尼大小均有关系。21)/(1)/(2tannn（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系右图给出阻尼比ζ=0.2时，相应于不同频率比ω/ωn时的外力和位移曲线及滞后相角φ。相角φ实际是反映结构体系位移（反应）相应于动力荷载的反应滞后时间，从图中可以发现，频率比越大，即外荷载作用得越快，动力反应的滞后时间越长。（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系（3）阻尼体系动力反应与荷载的相位关系表4.1三种特殊情况时体系振动位移与简谐荷载的相位关系由n/图判断物理解释（根据关系：uufufufICS2,,）①0/n时00则u和0u，即cf和0If则)(tpfS即)(tpku，u与)(tp相位相同②1/n时9090)()(90(),()(0,2相差，则相差与）相同，而与即则则tptuuutputpuctpffffkuumumfcSIsnI③n/时180180180)()(,，则相差位移反相，所以位移与，而惯性力与则和，则tptpffffIcSI4.3振动测量仪器（拾振仪）测量振动量仪器主要有三种：•加速度计：测量加速度时程（强震仪）•位移计：测量位移时程（地震仪）•速度计：测量速度（目前应用逐步多起来）4.3振动测量仪器（拾振仪）（1）加速度计（强震仪）加速度计测量的是加速度在基底加速度作用下仪器质点的运动方程为：设仪器基底加速度时程：仪器质点所记录的相对位移u(t)为：)(tumkuucumgtutuggsin)(0)sin()sin()]/(2[])/(1[1)(02220tuRkmtkumtugdnng（1）加速度计（强震仪）为简单起见，仅讨论u(t)的振幅u0：通常采用提高加速度计中弹簧刚度的方法来实现提高ωn的目的。因此，加速度计或强震仪中弹簧刚度比较大，是比较刚性的。00)(gduRkmu0/0.6nmkn/0.6n7.04.3振动测量仪器（拾振仪）（2）位移计（地震仪）位移计是用来测量仪器基底的位移量仪器基底位移时程：在基底位移作用下仪器质点的运动方程为：仪器质点的所记录的相对位移u(t)为：)sin(02tumkuucumgtuuggsin0)sin()()sin()(0202tuRtRukmtugdndg（1）位移计（地震仪）通常采用降低位移计中弹簧刚度的方法来实现降低ωn的目的。因此，位移计中弹簧刚度比较小，是比较柔性的。1/nn5.0020)(gdnuRudngRuu200)(位移比4.4隔振（震）隔振（震）分两种情况：1）阻止振动的输出。例如，大型机器动力机器振动向地基中的传播；地铁车辆振动传播。——力的传递和隔震2）阻止振动的输入。例如，结构抗震问题中的隔震设计，在振动的结构或地基上安装的精密仪器设备的隔震问题。——基底振动的隔离4.4隔振（震）力的传递和隔震基底振动的隔离4.4隔振（震）1、力的传递和隔震p0sinωt—机器的不平衡力ω—机器的转速(角速度)m—机器质量(设为刚性质量块)k、c—隔振元件的总刚度和阻尼。fT—从隔振元件传到地基上的力单质点体系简谐振动问题的解为:uckufffDsT)sin()(tRutudst1、力的传递和隔震传到地基上的力为：作用力fT的最大值为：将ust=p0/k、c=2mωnζ代入上式得：TR—传递率(transmissibility)，是反映隔振效果的量uckufffDsT)sin()(tRutudst)]cos()sin([)(tctkRutfdstT222maxckRufdstT22220max)]/(2[])/(1[)]/(2[1nnnTpfTR1、力的传递和隔震力的传递率TR当频率比：传递率：为达到隔振的目的，可采用降低ωn的办法，①减小隔振元件刚度，或②增加仪器质量的方法，提高隔振效果。实际的减震设计方案应在尽量小的刚度和可接受的静位移之间优化选取。阻尼对隔振的影响？22220max)]/(2[])/(1[)]/(2[1nnnTpfTR2n1TR4.4隔振（震）2、基底振动的隔离ug(t)—基底（地面）的振动位移时程；ut(t)=u(t)+ug(t)—质点的绝对运动时程；u(t)—相对位移。输入基底运动的位移时程为：单质点体系简谐振动问题的解为:质点的总位移ut(t)为：tutuggsin)(0)sin()()(02tuRtugdn)sin()]/(2[1)()()(120tRutututundggt2、基底振动的隔离位移的传递率TR为：位移的传递率与力的传递率完全相同，说明两种隔振问题是相通和相同的，其隔振设计方法也基本相同200)]/(2[1ndgtRuuTR222200)]/(2[])/(1[)]/(2[1nnngtuuTR222)]/(2[])/(1[1nndR2、基底振动的隔离对建筑结构的隔震问题与以上讨论的单质点体系隔振问题有类似的地方。例如都是试图通过降低体系自振频率的方法来提高隔震(振)效率。也有不同的地方，建筑结构体系是多自由度体系，其隔震(振)效率的研究更复杂，而且地震动是宽频带的过程，总有与结构自振频率相同的频率成份存在，无法通过避开地震动频率的方法来实现隔震(振)的目地。隔震问题研究已成为一门专门的工程抗震研究领域。加速度传递率为：加速度的传递率与位移的传递率相同00020200gtgtgtuuuuuuTR2、基底振动的隔离算例1，工程场地竖向加速度为üg=0.1g，振动频率为f=10Hz，安放一个重m=50kg的敏感仪器，仪器固