单自由度体系结构的地震反应.

结构动力学第3章单自由度体系单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom）System结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定分析单自由度体系的意义：一、单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的大部分物理量及基本概念。二、很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算。结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型第3章单自由度体系3.1无阻尼自由振动3.1无阻尼自由振动自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。运动方程：扰动的表现：自由振动反映结构本身的特性，对结构自由振动的分析可以了解结构自振频率、阻尼比等概念。0)()()(tkutuctum)0(),0(00uuuutt3.1无阻尼自由振动无阻尼：c=0自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件：()()0mutkut00()(0)()(0)ttutuutu()()()()mutcutkutpt3.1无阻尼自由振动设无阻尼自由振动解的形式为：其中：s为待定系数；A为常数特征方程：两个虚根：stAetu)(0kuum0)(2stAekmsnnisis21,mkin，122/nmks3.1无阻尼自由振动运动方程的通解为：指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B—待定常数，由初始条件确定。()stutAe12,nnsisitititstsnneAeAeAeAtu212121)(xixexixeixixsincossincostBtAtunnsincos)(3.1无阻尼自由振动将位移和速度代入初始条件：得待定常数为：()cossinnnutAtBttBtAtunnnncossin)(ButuAutuntt)0()()0()(00(0)(0),nuAuB00()cossinnnnuututt()sin()nutat初相位振幅：2200nuau（）00arctannuu（）初相位：振幅简谐运动的三要素频率1）在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数？哪些参数是依赖于外部条件的参数？2）无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以固有频率为振动频率的简谐振动，并且永无休止。3）初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，有初始速度即注入了动能。3.1无阻尼自由振动体系无阻尼自由振动的解：其中：无阻尼振动是一个简谐运动(Simpleharmonicmotion)n——自振频率（Naturalfrequency）。tututunnnsin)0(cos)0()(mkn3.1无阻尼自由振动220(0)max()[(0)][]nuuutunnT2u(t)tu(0)u(0)Tn=2π/ωn.u0(0)()(0)cossinnnnuututt无阻尼体系的自由振动3.1无阻尼自由振动结构的自振频率和自振周期自振频率：Naturalfrequency(ofvibration)自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)——结构的重要动力特性结构的自振频率也称为结构的固有频率；结构的自振周期也称为结构的固有周期。3.1无阻尼自由振动结构自振频率和自振周期及其关系：自振圆频率：(单位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(单位：秒,sec)自振频率：(单位：周/秒,赫兹,Hz)mknnnT22nnf3.1无阻尼自由振动自振周期Tn是体系的固有特性。当体系为线弹性时，无论初始条件如何，例如振幅很大或很小(由初始条件产生)，但体系完成一个振动循环所用的时间是相等的，即等于Tn。结构的自振周期(频率)是反映结构动力特性的最主要的物理量，在描述一个结构的动力特性或实际测量结构动力特性时是必须给出的量。不同结构的自振周期可能相差很大，从一般平房的0.1秒，到200m左右高度的超高层结构的4~5秒，到大型悬索桥的17秒不等。mknnnT2习题：求图示系统的固有频率(注：图中所示位置均为静平衡位置)。mkalmalkmlak(a)(b)(c)mkal22nkamglml2sincossinmlkaamgl22()0mlkamglsin,cos1amglamglsinkamalkmglasinka22nkamglml2sincossinmlkaamgl22()0mlkamglsin,cos1mlak22nkamlalsinka2sincosmlkaa220mlkasin,cos1静变形法/2L/2Lstm,EInkm348stmgLEI348nEImLstkmgnstg例题升降机笼由钢丝绳牵挂以等速度向下运动。钢丝绳的质量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止运动，求此时钢丝绳所受的最大张力。0000uuvnkm（振幅）2200()nuau0dTkavmk(钢丝绳最大动张力)（钢丝绳总张力的最大值）mkvmgT0解:0mvk第3章单自由度体系3.2有阻尼自由振动3.2有阻尼自由振动自由振动：p(t)=0运动方程：初始条件：0kuucum)0()()0()(00utuututt3.2有阻尼自由振动令u(t)=est，代入运动方程整理得：由此可以得到特征方程的两个根为：0kuucum222,1)2(2nmcmcsmkn02kcsms3.2有阻尼自由振动u(t)=est当：体系不发生往复的振动；当：体系产生往复的振动。使：成立的阻尼c称为临界阻尼。临界阻尼记为ccr：0)2(22nmc222,1)2(2nmcmcs0)2(22nmc0)2(22nmckmmcncr223.2.1临界阻尼和阻尼比临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。临界阻尼是完全由结构的刚度和质量决定的常数。阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值，用表示。22crncmkmncrmccc23.2.1临界阻尼和阻尼比（1）当＜1时，称为低阻尼（Underdamped），结构体系称为低阻尼体系；（2）当＝1时，称为临界阻尼（Criticallydamped）；（3）当＞1时，称为过阻尼（Overdamped），结构体系称为过阻尼体系。对于钢结构：钢筋混凝土结构：左右01.0地震（中小强度）左右脉动（微振）左右05.003.02crncccm3.2有阻尼自由振动低阻尼、临界阻尼和过阻尼体系的自由振动曲线t/T2341低阻尼，ζ=0.1u(t)u(0)0u(0)临界阻尼，ζ=1过阻尼，ζ=23.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）将：代入：得：nmc2Dnnniis22,11222,1)2(2nmcmcs2crncccm3.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：其中：D—阻尼体系的自振频率Dnis2,1]sin))0()0((cos)0([)(tuutuetuDDnDtn21nDsteu22112nnDTTDDT2()sin()ntdutaet或：3.2.2低阻尼体系（UnderdampedSystems）D—阻尼体系的自振频率TD—阻尼体系的自振周期n和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期。阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小；阻尼的存在使体系的自振周期变长；当阻尼比＝1时，自振周期TD=∞。21Dn21nDTT3.2.2低阻尼体系阻尼对自由振动的影响u(t)tu(0)u(0).TnTD无阻尼结构有阻尼结构ρe－ζωnt－ρe－ζωnt22])0(0([)]0([Dnuuu）3.2.2低阻尼体系现场实测：D和TD理论计算：n和Tn工程中结构的阻尼比在1—5%之间，一般不超过20%，因此可以用有阻尼体系的结果代替无阻尼结果。21Dn21nDTT阻尼对自振频率和自振周期的影响3.2有阻尼自由振动低阻尼体系的阻尼对结构自由振动的影响很大，因而，合理地确定体系的阻尼是结构动力问题研究中的一项重要工作。由于阻尼对体系的衰减自由振动曲线影响大，通过对体系衰减曲线的分析，可以有效地分辨出不同体系的阻尼比。u(t)tu(t)tu(t)tu(t)tζ=1%ζ=2%ζ=5%ζ=10%05101520对数衰减率法3.2.3运动的衰减和阻尼比的测量相邻振动峰值比：——相邻振幅比仅与阻尼比有关，而与i的取值无关。)12exp()exp()()(21DnDiiiiTTtutuuu(0)(0)()[(0)cos()sin]ntnDDDuuuteuttu(t)tu1uiui+1TDTDti+TDti对数衰减率法对数衰减率:阻尼比计算公式：小阻尼时计算公式：21()2exp()exp()()1iinDiiDuutTuutT2112lniiuu221(2)2对数衰减率法相隔j周的振动峰值比：对数衰减率：阻尼比：J50%—振幅衰减至50%所需的次数21112ijjiiiijiiijuuuueuuuu1lniijuju1ln2iijuju50%50%50%110.11ln2,ln22JJJ【思路】：【例】:有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。试验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。根据得到系统的阻尼比2对数衰减率根据得到阻尼器的阻尼系数/ccc【关键】：正确求出对数衰减率1lniiuu0.08560.02m0.012miiuu0.0850.013522阻尼比20.0135255001.35Ns/mccCmk阻尼器的阻尼系数：12lniiuu23lniiuu23lniiuu56lniiuu125123666ln()ln()iiiiiiiiiiuuuuuuuuuu【解】：def1.系统阻尼比的定义是：D()ut2.阻尼振动（自然）频率的定义是：3.欠阻尼自由振动响应是：4.对数衰减率为：填空：2ncm2cmk21n000cossinntnddduueutt2判断对错：1.单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性，所以是周期运动；╳例2图示为一摆振系统，不计刚性摆杆质量。求系统绕O点小幅摆动的阻尼振动频率和临界阻尼系数。/al【思路】要想求阻尼振动频率：21dn就要求：,n通过系统的运动微分方程来求：,n解：设广义坐标θ，正方向为顺时针。sin,cos12sincoscoscosmlkaacaa1）根据动量矩定理：222mlkaca2220mlcaka/al220ckmmnkm固有频率：222nccmmk阻尼比：21dn阻尼振动频率：2ckmc1临界阻尼系数：2）求阻尼振动频率和临界阻尼系数第3章