南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案

1南京大学高等代数2013年期末考试试卷及答案（A卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间Px的两个子空间的交11LxLx2、设12,,...,n与12,,...,n是n维线性空间V的两个基，由12,,...,n到12,,...,n的过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基12,,...,n下的坐标，则在基12,,...,n下的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：21,,1,则其特征矩阵EA的标准形是5、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。2、（）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：2（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（）矩阵A可逆的充要条件是：0;AABA是一个非零常数；CA是满秩的；DA是方阵。4、（）设实二次型fXAX（A为对称阵）经正交变换后化为：2221122...nnyyy，则其中的12,,...n是：1;AB全是正数；C是A的所有特征值；D不确定。5、（）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“2”，则A的若当标准形是：200200200020;120;120;002002012ABCD以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且120VV则12VVV。2、（）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。3、（）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB等价。34、（）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,,,,,,,,,abcdabacbdabcdPA（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵A；（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。2、（1）求线性空间3Px中从基2:1,1,1Ixx到基2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2）求线性空间3Px中向量2123fxxx在基42:1,1,1Ixx下的坐标。3、在R2中，1212,,,aabb，规定二元函数：11122122,4abababab（1）证明：这是R2的一个内积。（2）求R2的一个标准正交基。5五、证明题（每小题10分，共30分）1、设P3的两个子空间分别为：11231232123123,,0,,,0WxxxxxxWxxxxxx证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。62、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明12,,...,rWL是的不变子空间的兖要条件是1,2,...,iWirA73、已知AE是n级正定矩阵，证明：（1）A是正定矩阵；（2）23nAE8参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间Px的两个子空间的交11LxLx02、设12,,...,n与12,,...,n是n维线性空间V的两个基，由12,,...,n到12,,...,n的过渡矩阵是C，列向量X是V中向量在基12,,...,n下的坐标，则在基12,,...,n下的坐标是1CX3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是相似关系4、设3阶方阵A的3个行列式因子分别为：21,,1,则其特征矩阵EA的标准形是100000015、线性方程组AXB的最小二乘解所满足的线性方程组是：AAXAB二、单项选择题（每小题3分，共15分）2、（A）复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；9（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。2、（D）设是非零线性空间V的线性变换，则下列命题正确的是：（A）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B）的核是V的充要条件是是满射；（C）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D）的值域是V的充要条件是是满射。3、（B）矩阵A可逆的充要条件是：0;AABA是一个非零常数；CA是满秩的；DA是方阵。4、（C）设实二次型fXAX（A为对称阵）经正交变换后化为：2221122...nnyyy，则其中的12,,...n是：1;AB全是正数；C是A的所有特征值；D不确定。5、（A）设3阶实对称矩阵A有三重特征根“2”，则A的若当标准形是：200200200020;120;120;002002012ABCD以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（×）设V1，V2均是n维线性空间V的子空间，且120VV则12VVV。2、（√）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。103、（√）同阶方阵A与B相似的充要条件是EA与EB等价。4、（×）n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。5、（√）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。四、解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P中，定义线性变换：4,,,,,,,,,abcdabacbdabcdPA（1）求该线性变换在自然基：121,0,0,0,0,1,0,0340,0,1,0,0,0,0,1下的矩阵A；（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。解：（1）线性变换在自然基下的矩阵是1000010010100101A（5分）（2）因为41EA所以矩阵A的所有特征值是12341解齐次线性方程组0EAX得矩阵A的所有特征向量：120,0,1,00,0,0,1kk，其中12,kk不全为零。（5分）2、（1）求线性空间3Px中从基2:1,1,1Ixx到基2:1,1,1IIxx的过渡矩阵；（2）求线性空间3Px中向量2123fxxx在基112:1,1,1Ixx下的坐标。解：（1）因为221111,1,11,,012001xxxx221111,1,11,,012001xxxx所以1221111111,1,11,1,1012012001001xxxx21111111,1,1012012001001xx即所求的过渡矩阵为124014001（5分）（2）因为221111,,1,1,1012001xxxx21241,1,1014001xx12故2211231,,23fxxxxx2211111,1,10122241310013xxxx所以fx在基2:1,1,1Ixx下的坐标是：243（5分）3、在R2中，1212,,,aabb，规定二元函数：11122122,4abababab（3）证明：这是R2的一个内积。（4）求R2的一个标准正交基。（1）证明：11122122,4abababab112211,14baab因为1114是正定矩阵，所以这个二元函数是R2的一个内积。（5分）（2）解：考察自然基121,0,0,1它的度量矩阵正是1114令：111,0,13212122121211111,,11,1,,1再令：1112212111,1,13则12,是R2的一个标准正交基。（5分）（2）解法二：考察自然基121,0,0,1它的度量矩阵正是1114221212131011101010101401031101131313rrrccc令：1212113,,013即：112131,1则12,的度量矩阵是E，从而是R2的一个标准正交基。五、证明题（每小题10分，共30分）2、设P3的两个子空间分别为：11231232123123,,0,,,0WxxxxxxWxxxxxx证明：（1）312PWW；（2）12WW不是直和。证明：（1）W1的一个基是：121,1,0,1,0,1W2的一个基是：121,1,0,1,0,114因为121212,,,WWL其中121,,是12WW的生成元的一个极大无关组从而是12WW的一个基，所以31212dim3WWPWW（5分）（2）因1212dim2,dim2,dim3即121dimdimdim所以12WW不是直和。（5分）（2）之证法二：因为120,1,10WWL所以12WW不是直和。2、设是数域P上线性空间V的线性变换，证明12,,...,rWL是的不变子空间的兖要条件是1,2,...,iWirA证明：（充分性）设有1,2,...,iWirA1122...rrkkkW1122...rrkkkWAAAA12,,...,rWL是的不变子空间。（5分）（必要性）设12,,...,rWL是的不变子空间，由,1,2,...,,1,2,...,iiWirWirA（5分）3、已知AE是n