南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学+(含参考答案及评分标准)+201505

高三数学试卷第1页（共4页）南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学2015.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1ni＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1ni＝1∑nxi．锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上．1．已知复数z＝2i1－i－1，其中i为虚数单位，则z的模为▲．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是．3．若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值是．4．右图是一个算法流程图，则输出k的值是．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是．甲乙8978931069789（第5题图）NS←40开始k←1k←k＋1S≤0Y输出k结束S←S－2k（第4题图）高三数学试卷第2页（共4页）6．记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为．7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－y23＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是．8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为．9．在△ABC中，ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则BD·BE的值为．10．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则正整数k＝．11．若将函数f(x)＝∣sin(x－6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是．12．已知x，y为正实数，则4x4x＋y＋yx＋y的最大值为．13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．14．已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB＋sinC的取值范围．16．（本小题满分14分）高三数学试卷第3页（共4页）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为PA的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．17．（本小题满分14分）如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈(0，π)．（1）当＝23时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定的值，使得MPN取得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．（1）已知点(62，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C上存在点T，使得TATF1＝2，求椭圆C的离心率的取值范围；②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，若AM→＝λAP→，BM→＝BQ→，求证：λ＋为定值．19．(本小题满分16分)（第16题图）PABCDE（第17题图）AMNBOPQxyAOBMPQ（第18题图）F2F1l高三数学试卷第4页（共4页）已知函数f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx．（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；（2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．（1）求a2a1的值；（2）求证：{an}为等比数列；（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk．高三数学试卷第5页（共4页）南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2015.05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．52．0.743．44．65．甲6．(－∞，－3]7．438．129．11910．911．3212．4313．[－34，＋∞)14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinBcosA．因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB．从而sinB＝2sinBcosA．…………………………4分因为sinB≠0，所以cosA＝12．因为0＜A＜π，所以A＝π3．…………………………7分（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(2π3－B)＝sinB＋sin2π3cosB－cos2π3sinB＝32sinB＋32cosB＝3sin(B＋π6)．…………………………11分因为0＜B＜2π3，所以π6＜B＋π6＜5π6．所以sinB＋sinC的取值范围为(32，3]．…………………………14分16．证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝12AD．因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC，EF＝BC．所以四边形BCFE为平行四边形．所以BE∥CF．…………………………4分PABCDEF（第16题图）高三数学试卷第6页（共4页）因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD．…………………………6分（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…………………………9分因为PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，所以PA⊥平面PCD．…………………………12分因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD．…………………………14分17．解：（1）由题意，得PQ＝50－50cos．从而，当＝23时，PQ＝50－50cos23＝75．即点P距地面的高度为75m．…………………………4分（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin，从而MQ＝60－50sin，NQ＝300－50sin．又PQ＝50－50cos，所以tanNPQ＝NQPQ＝6－sin1－cos，tanMPQ＝MQPQ＝6－5sin5－5cos．…………………………6分从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝6－sin1－cos－6－5sin5－5cos1＋6－sin1－cos×6－5sin5－5cos＝12(1－cos)23－18sin－5cos．…………………………9分令g()＝12(1－cos)23－18sin－5cos，∈(0，π)，则g()＝12×18(sin＋cos－1)(23－18sin－5cos)2，∈(0，π)．由g()＝0，得sin＋cos－1＝0，解得＝2．…………………………11分当∈(0，2)时，g()＞0，g()为增函数；当∈(2，)时，g()＜0，g()为减函数，所以，当＝2时，g()有极大值，也为最大值．因为0＜MPQ＜NPQ＜2，所以0＜MPN＜2，从而当g()＝tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值．高三数学试卷第7页（共4页）即当＝2时，MPN取得最大值．…………………………14分（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)．设点P的坐标为(x0，y0)，所以Q(x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．从而tanNPQ＝NQPQ＝300－x0y0，tanMPQ＝MQPQ＝60－x0y0．…………………………6分从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)＝tanNPQ－tanMPQ1＋tanNPQtanMPQ＝300－x0y0－60－x0y01＋300－x0y0×60－x0y0＝24y010y0－36x0＋1800．由题意知，x0＝50sin，y0＝50－50cos，所以tanMPN＝＝12(1－cos)23－18sin－5cos．…9分（下同方法一）18．解：（1）设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题意，得a2c＝m＋1，(m＋1)－c＝m，解得a2＝m＋1，b2＝m，c＝1．所以椭圆方程为x2m＋1＋y2m＝1．因为椭圆C过点(62，1)，所以32(m＋1)＋1m＝1，解得m＝2或m＝－12(舍去）．所以m＝2．…………………………4分（2）①设点T(x，y)．由TATF1＝2，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2．…………………6分由x2＋y2＝2，x2m＋1＋y2m＝1，得y2＝m2－m．因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．所以椭圆C的离心率e＝1m＋1∈[33，22]．…………………………10分②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则AM＝(x0＋2，y0)，AP＝(x1＋2，y1)．由AM＝AP，得x0＋2＝(x1＋2)，y0＝y1．从而x0＝x1＋2(－1)，y0＝y1．………………12分因为x022＋y02＝1，所以[x1＋2(－1)]22＋(y1)2＝1．即2(x122＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．高三数学试卷第8页（共4页）因为x122＋y12＝1，代入得2(－1)x1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1，故x1＝－3－12，所以x0＝－32．同理可得x0＝－＋32．………………14分因此－32＝－＋32，所以＋＝6．…………………16分（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线AM的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)．将y＝y0x0＋2(x＋2)代入x22＋y2＝1，得(12(x0＋2)2＋y20)x2＋4y20x＋4y20－(x0＋2)2＝0(*)．因为x022＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4y20x－3x20－4x0＝0．因为x0x1＝－3x20＋4x02x0＋3