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1课题：椭圆及其标准方程（—）授课教师：四川省南充市第一中学袁铭教材：全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）高二《数学》上（人民教育出版社出版）一、教材分析(一)教学内容椭圆及其标准方程是高二《数学》上（试验修订本·必修）（人民教育出版社出版）第八章的第一节内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路.现在说第一课时.(二)教材的地位和作用本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线.椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.(三)教学目标[确定依据]根据上述教学内容的地位和作用，结合大纲，确定了以下目标：1.知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导.2.过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.3.情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点.以“神舟五号”飞船运动轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育，使之逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值.(四)教学的重点难点的确立和解决[确定依据]教学大纲学生情况1.教学重点：椭圆的定义及其标准方程[解决方法]为了突出重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程.2.教学难点：椭圆标准方程的推导[解决方法]为了突破此难点，关键是抓住怎样建立坐标系并把实际问题数学化即建模和怎样简化方程两个环节来进行方程的推导.二、学情分析通过前面的学习，学生已具备一定的分析与归纳能力.初步掌握了解析几何的基本思想与方法，但是学生对坐标法解决几何问题掌握不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂2的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么的办法来补充这些知识.三、教法和学法(一)教法：根据以上的分析及本节课的内容和学生的认知水平，采用在教师指导下的学生探究发现教学法.通过这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃.同时培养了学生自主学习，动手探究的能力.(二)学法：自主探究，合作交流授人以鱼，不如授人以渔.教给学生如何学习是教师的职责，因此在本节课的教学中，教会学生动手尝试、仔细观察、开动脑筋、分析讨论，最后抽象出概念，推出方程.这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.(三)教学手段：多媒体辅助教学.通过动态演示，集声、文、图象于一体，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.四、教学过程及设计意图(一)创设情景，提出课题本节课的开始由多媒体演示“神舟五号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图.[问一]2003年10月15日，中国“神舟五号”飞船试验成功，实现了中国人的千年飞天梦.请问：“神舟五号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？[设置依据]让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有很多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力，并体现了爱国主义思想的渗透.此时老师可以指出，在天体运行的轨道中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等.再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历，并让学生举出实际生产、生活中有关椭圆的例子.[设置依据]使学生对圆锥曲线有初步的感性认识，同时对本章要学习的内容产生兴趣，培养学生对立统一的观点.教师也可以很自然的引出课题.(二)自主探究，形成概念[问二]曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹.椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？[设置依据]“思维从疑问开始”，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.此时教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法（几何特征）.于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦.教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”时，马上提出第三个问，让学生回答.3[问三]1.在纸板上作图说明了什么？2.在绳长(设为2a）不变的条件下，改变两个图钉之间的距离（设为2c），画出的椭圆有何变化？3.当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？4.当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？教师让学生再一次动手实践，相互讨论交流，然后抽学生代表发表意见，同时教师运用多媒体进行配合说明，可以得出：当2a2c时，是椭圆，并且当两定点间的距离越小，椭圆越圆，特别地当两点重合时，是圆，两定点间的距离越大，椭圆越扁；当2a=2c时是线段；当2a2c时，无轨迹.[设置依据]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.在上述基础上，定义的形成已是水到渠成了，于是教师让学生自己概括椭圆定义.定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于|F1F2|.(三)师生互动，导出方程给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究.根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.[问四]1.求曲线方程的一般步骤是什么？2.建立坐标系的一般原则有哪些？学生围绕两问，思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）.建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.[设置依据]让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.[问五]怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.1.建系设点：以两定点F1、F2的连线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图14设M(x,y)为椭圆上任意一点，|F1F2|=2c(c0)，则有F1（－c,0）、F2(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a(a0).[设置依据]因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，故设计目的是为了着重培养学生这方面的能力.2.写出点集：让学生利用两点的距离公式，根据椭圆定义列出：P={M||MF1|+|MF2|=2a}.到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出:为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.4.化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，教师可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.教师引导学生化简，得到(a2－c2)x2+a2y2=a2(a2－c2).指出：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，5.证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，此步可以省略.如有特殊情况，应给出说明.另外步骤2也可省略，直接列出曲线的方程.[设置依据]再一次体现解析几何的基本思想，即用代数方法研究几何问题.5在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑，故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.[问六]如果焦点F1、F2在y轴上，并且点O与线段F1F2的中点重合，a、b、c的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？[设置依据]该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性.调动了学生学习的主动性和积极性，通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.为了让学生加深对椭圆的两种标准方程的理解，下面举例，巩固练习.1.指出在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？哪些是椭圆的方程？（让学生思考、抢答）62.比较椭圆的两种标准方程，填表.（学生讨论回答，教师板书）不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点位置的判定[设置依据]使学生进一步理解方程，掌握方程的本质特征，揭示规律，充分展示数形结合的和谐美、统一美，同时为解决例题做铺垫.(四)初步运用，强化理解例题1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明a2，b2和焦点坐标.图3[设置依据]数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该例题使学生进一步7理解椭圆的定义，掌握标准方程，使知识内化为智能，并在解题过程中感受数形结合思想的优越性.(五)自我评价，反馈调节[设置依据]变换练习方式，可增强新异感，调动学生的积极性，同时使学生获得的知识信息及时得到巩固，纳入长时记忆系统.(六)知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）1.椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3.解析几何的基本思想[设置依据]通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.(七)布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）1.课本习题8.1第1（2）、4题2.课后探究题：[设置依据]一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了学生的自主学习能力和探究性学习习惯.(八)板书设计（附后）[设置依据]勾勒出全教材的主线，呈现完整的知识结构体系并突出重点，用彩色增加信息的强度，便于掌握.五、教学评价本节课围绕“层层设问自主探索发现规律归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升8了抽象概括的能力.同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟五号”运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，树立了学好数学的自信，养成独立思考习惯.但在本节