南航戴华《矩阵论》第七章_矩阵函数与矩阵值函数

第7章矩阵函数与矩阵值函数7.1矩阵函数7.2矩阵值函数7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用7.4*特征对的灵敏度分析7.1矩阵函数7.1.1矩阵函数的幂级数表示7.1.2矩阵函数的另一种定义7.1.1矩阵函数的幂级数表示幂级数的能够展开为一元函数设zzfCAnn)(,定义7.1.10)(kkkzczf即记为为矩阵函数的和定义则将收敛矩阵幂级数时的谱半径当矩阵径为并且该幂级数的收敛半),(,,)(.0AfAcRAARkkk0)(kkkAcAf时有因为当||znzznzze!1!21121253)!12(1)1(!51!31sinnnznzzzznnznzzz242)!2(1)1(!41!211cos矩阵幂级数对任意可知由推论,,2.3.6nnCA1253)!12(1)1(!51!31nnAnAAAnnAnAAI242)!2(1)1(!41!21即他们的和分别记为都是收敛的,cos,sin,.AAeAnAAnAAIe!1!2121253)!12(1)1(!51!31sinnnAnAAAAnnAnAAIA242)!2(1)1(!41!21cos.cos,sin,为矩阵三角函数为矩阵指数函数称AAeAnAnAAI!1!212定理7.1.1则如果设,,BAABCAnnAAAAeeiAeeAAiAeiAiAiAiAiAsin)sin(cos)cos()(21sin)(21cossincosBAABBAeeeee的定义，可得和由AAeAcossin,推论7.1.1则设,nnCA;)(,)1(1AAAAAAeeIeeee.)(,)2(mAmAeem则为整数设定理7.1.2则如果设,,,BAABCBAnn;cossin)1(22IAA则如果,)2(BAABAAABABABAAAABABABA22sincos2cossinsincoscos)cos(cossin22sinsincoscossin)sin(7.1.2矩阵函数的另一种定义设矩阵A的最小多项式为)16.1.7()()()()(2121kmkmmm如果对任意函数个互异特征值的为其中),(.,,,21zfkAkkifffimiii,,2,1,)(,),(),()1(.)()(),,2,1)((,),(),(,)()(,)1(上的值的谱在为并称有定义的谱在则称函数存在AAzfkifffAAzfimiii.)()()()()(,)()(,212121上具有相同的值谱的在和的充分必要条件是则是两个多项式和设AAppApApppCAnn定理7.1.3定义7.1.2满足如果存在多项式上有定义的谱在数函的最小多项式为设矩阵)(,)()(),16.1.7(pAAzfCAnn1,,2,1,,,2,1),()()()(iijijmjkifp则定义矩阵函数f(A)为)()(ApAf给定一组数个正整数且是个互异数是设.,,,,,,,12121kiikkmmkmmmk定理7.1.4kifffimiii,,2,1,,,,1,1,0,使得的多项式则存在次数小于)(pm)20.1.7(1,,1,0,,,1,)(,)(ijiijmjkifp.)()20.1.7(插值多项式称为的多项式通常把满足条件Hermitep则有定义上的谱在如果函数是一个块对角矩阵设矩阵,)()().,,(1AAzfAAdiagACAsnn定理7.1.5))(,),(()(1sAfAfdiagAf定理7.1.6则上有定义的谱在并且函数使得如果存在可逆矩阵设,)()(,,,1AAzfPAPBPCBAnn1)()(PAPfBf其中)()(!11)()()!1(1)(!11)()()1(iiiiniiiiffffnffJfi且(7.1.25)给出的矩阵函数f(A)与A的Jordan标准形J中Jordan块的排列次序及变换矩阵P的选取均无关。则上有定义的谱在若函数标准形为的设矩阵,)()(),13.1.7(AAzfJordanCAnn定理7.1.7)25.1.7())(,),(()()(111PJfJfPdiagPJPfAfs).(,)(),()(,)()(,,,,2121nnnnfffzfAAzfCA为的特征值则上有定义的谱在函数的特征值为设矩阵定理7.1.87.2矩阵值函数7.2.1矩阵值函数7.2.2矩阵值函数的分析运算7.2.1矩阵值函数定义7.2.1矩阵则上的实函数定义在区间都是设nmbanjmixaij,),(),,2,1,,,2,1)((nmmnmmnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxA)()()()()()()()()()(212222111211称为定义在(a,b)上的矩阵值函数。特别地，当n=1时，得到向量值函数。通常用等形式表示。)(x定义7.2.2区间(a,b)上m×n矩阵值函数A(x)不恒等于零的子式的最高阶数称为A(x)的秩，记为rank(A(x))。特别地，如果A(x)是区间(a,b)上n阶矩阵值函数，并且rank(A(x))=n，则称A(x)为满秩的。定义7.2.3都有对任何使得阶矩阵值函数如果存在函数阶矩阵值上是区间设),()),(()(,),())(()(baxxbxBnnbaxaxAijijIxAxBxBxA)()()()(则称A(x)在(a,b)上可逆，并称B(x)为A(x)的逆矩阵，记为A-1(x)。定理7.2.1n阶矩阵值函数A(x)在区间(a,b)上可逆的充分必要条件是|A(x)|在(a,b)上处处不为零，并且))(()(1)(1xAadjxAxA其中)()()()()()()()()())((212221212111xAxAxAxAxAxAxAxAxAxAadjnnnnnn是A(x)的伴随矩阵值函数，Aij(x)是A(x)中元素aij(x)的代数余子式。7.2.2矩阵值函数的分析运算定义7.2.4即处有极限在的所有元素如果矩阵值函数阶上的是区间设,),()()(,),())(()(0baxxaxAnmbaxaxAijij),,1,,,1()(lim0njmiaxaijijxx记为处有极限在则称为固定常数其中,)(,0xxxAaijAxAxx)(lim0.)(nmijRaA其中),,1,,,1()()(lim00njmixaxaijijxx).()(lim,)(000xAxAxxxAxx且记为处连续在则称则并且数矩阵值函上的是区间如果,)(lim,)(lim),,(,),()(),(000BxBAxAbaxnmbaxBxAxxxx;))()((lim)1(0BAxBxAxx.))((lim)2(0kAxkAxx则并且矩阵值函数上的是区间矩阵值函数上的是区间若,)(lim,)(lim),,(,),()(,),()(000BxBAxAbaxqnbaxBnmbaxAxxxx即处连续在的所有元素如果,)()(0xxxaxAij.))()((lim0ABxBxAxx定义7.2.5并且可导内或在处在则称矩阵值函数导可内或在处在点的所有元素如果阵值函数矩上的是区间设,)),(()(,)),((),(),,1,,,1)(()(.),())(()(00baxxxAbabaxxnjmixaxAnmbaxaxAijij)()()(000xadxxdAxAijxx.)(,),,2,1,,,2,1)(()(,.)(000处解析在则称矩阵值函数的解析函数处都是元素的所有若特别地处的导数在称为xxxAxxnjmixaxAxxxAij.),()(,),()(上的解析矩阵值函数区间为则称内任一点都解析在区间如果baxAbaxA矩阵值函数的导数运算具有下列性质：;0)()()1(dxxdAxA条件是是常数矩阵的充分必要;)()()]()([)2(dxxdBdxxdAxBxAdxd;)()()()()]()([)3(dxxdAxkxAdxxdkxAxkdxd.)()()()()]()([)4(dxxdCxAxCdxxdAxCxAdxd则的可微函数是如果,)()5(ttfxdxxdAtftfdxxdAxAdtd)()()()()(因为矩阵乘法没有交换律，一般地，对正整数m1和可导的n阶矩阵值函数A(x)dxxdAxAmxAdxdmm)()]([)]([1定理7.2.2如果n阶矩阵值函数A(x)在(a,b)上可逆且可导，则)()()()(111xAdxxdAxAdxxdA定义7.2.6并称上可积在则称矩阵值函数上可积在区间的所有元素如果阵值函数矩上的是区间设,],[)(,],[),,1,,,1)(()(.],[))(()(baxAbanjmixaxAnmbaxaxAijijbaijbadxxadxxA)()(为A(x)在[a,b]上的积分。矩阵值函数的积分具有如下性质：;)()()]()([)1(bababadxxBdxxAdxxBxA;)()(,)2(babadxxAkdxxkARk有对常数(3)对常数矩阵A和C，有CdxxBAdxCxABbaba])([])([(4)如果矩阵值函数A(x)在[a,b]上连续，则)()(xAdttAdxdxa(5)如果矩阵值函数A’(x)在[a,b]上连续，则)()()(aAbAdxxAba定义7.2.7令的多元函数是可微的作为的所有元素函数矩阵值的是设.),,1,,,1)(()(,))(()(qpijqpijRXnjmiXfXFnmRXXfxF)4.2.7()()(212222111211pqppqqnqmpijxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFdXXdF.)()(),,,1,,,1()(的导数对为则称其中XXFdXXdFqlpkxXfxFklijkl矩阵值函数的导数具有如下性质：则矩阵值函数的都是设,)(),(nmRXXGxFqp;)()()]()([)1(dXXdGdXXdFXGXFdXd.)()]([,)2(dXXdFkXkFdXdk有对常数qpijxfdXdf的导数为向量对则的可微函数是向量如果xfRxxffn,)(nxfxfdxdf1的导数为对矩阵则微的的多元函数是可作为如果XfRXXffqp,)(7.3矩阵值函数在微分方程组中的应用)1.3.7()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111tftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxnnnnnnnnnnn一阶线性微分方程组可以表示成函数与向量值函数引进矩阵值的未知函数是知