南航戴华《矩阵论》第二章线线性映射与性变换

教学目的掌握线性映射的定义熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质，掌握矩阵可对角化的条件理解酉空间的概念掌握酉空间与实内积空间的异同。在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种保持向量的加法和数量乘法的一一对应.我们常称映射(比同构映射少了一一对应的条件)两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。(4)如果1,2,…m是V1的线性相关组，则D(1),D(2),…D(n)是V2的一组线性相关向量；并且当且仅当D是一一映射时，V1中的线性无关组的像是V2中的线性无关组.注3矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与mn矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。解在R[x]n中取基1=1，2=x,…n=xn-1,在R[x]n-1中取基1=1，2=x,…n-1=xn-2，则D(1)=0=01+02+…+0n-1D(2)=1=1+02+…+0n-1D(3)=2x=01+22+…+0n-1……D(n)=(n-1)xn-2=01+22+…+(n-1)n-1D(1,2,…n)=(1,2…n-1)nnnn)1(10000020000020000010即于是D在基1，x,…xn-1与1，x,…xn-2下的矩阵为D=nnnn)1(10000020000020000010nn)1(010000010000010另：若在R[x]n-1中取基1=1，2=2x,…n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,…xn-1与1，2x,…(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同•即对V中的任意两个向量，和任意kP，映射（未必是双射）A：VV满足(i)(可加性):A(+)=A()+A()(ii)(齐次性):kA()=A(k)称A()为在变换A下的像，称为原像。V上的全体线性变换记为：L(V,V)线性变换的基本性质11(3)().mmiiiiiiTT如果T：VV是线性变换，则(1)();T()();TT(2)零向量对应零向量叠加原理(4).线性相关像像线性相关原(5).像原像线性无关线性无关1221(3)()()((());TTTTL(V,V)表示线性空间V上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2∈L(V,V),∈V,定义(1)2112()()()();TTTT()()();kTTk(2)则可以验证，都是线性变换，因此L(V,V)也是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念1212,,TTkTTT特殊的变换：对任意的k∈P定义数乘变换K（x）=kx，恒等变换：I（x）=x，零变换：O(x)=0例2.3.1设线性空间的线性变换为求在自然基底下的矩阵.123,,解：3()(0,0,1)(0,0,0)1()(1,0,0)(1,0,1)2()(0,1,0)(0,1,1)123123100(,,)(,,)0101101231212(,,)(,,)xxxxxxx3R()=123()(5,0,3)()(0,1,6),()(5,1,9)例2.3.2在线性空间中，线性变换定义如下：3R123(1,0,2),(0,1,1)(3,1,0)其中（1）求在标准基下的矩阵.123,,（2）求在下的矩阵.123,,解：（1）由已知，有123123123103(,,)(,,)011(,,),210X自然基底123123(,,)(,,)A123123123(,,)((,,))(,,)XX设在标准基下的矩阵为A，即123,,123(,,)AX012110301X即：为过渡矩阵123123123103(,,)(,,)011(,,),210X123123505(,,)(,,)011,3695202014527271824因而，505011,369AX11505505103011011011369369210AX1103505011011210369B235101110设在下的矩阵为B，则123,,1BXAX（2）求在下的矩阵.123,,定义2.3.3设D是数域P上的线性空间上的线性变换。令VR(D)=Im(D)={D(a)|aV}Ker(D)=N(D)={aV|D(a)=0}称R(D)是线性变换D的值域，而Ker(D)是线性变换的核。R(D)的维数称为D的秩，Ker(D)的维数称为D的零度。定理2.3.2设D是数域P上的线性空间V上的线性变换。令D在V的一组基1,2,…n下的矩阵表示为A，则（1）Im(D)和Ker(D)都是V的子空间；（2）Im(D)=span(D(1),D(2),…D(n))（3）rank(D)=rank(A)（4）dim(Im(D))+dim(Ker(D))=n证明（1）显然R(D)是V的非空子集，对任意D(),D()R(D)，kP有D()+D()=D(+)R(D)kD()=D(k)R(D)所以R(D)是V的子空间又D(0)=0,所以Ker(D)是V的非空子集,对任意,Ker(D)，kPD(+)=D()+D()=0Ker(D)D(k)=kD()=0Ker(D)所以Ker(D)是V的子空间如果D(r+1),…D(n)是线性无关的，则有dim(Im(D))=n-r证明（4）设dim(Ker(D))=r，在Ker(D)中取一组基1,2,…r，根据扩充定理，将它扩充成的基1,2,…r,r+1,…n，则Im(D)=span(D(1),…D(r),D(r+1),…D(n))=span(D(r+1),…D(n))V因为线性无关，所以ki=0(i=1,2…n),所以D(r+1),…D(n)线性无关。12,,,n事实上，设，则)(D0nj=r+1kjjnj=r+1kjD(aj)0从而则nj=r+1kjjKer(D)nj=r+1kjj=rj=1kjj注意（1）虽然dim(Im(D))+dim(Ker(D))=n，但一般有Im(D)+Ker(D)V（2）当且仅当(Ker(D)={0}，也即当且仅当Im(D)=V时，变换D是可逆的。1021121312552212例2.3.3设线性变换T在4维线性空间的基下的矩阵为V1234,,,1234[,,,]A（2）求Im(T)的一组基;（1）求Ker(T)的一组基;解（1）对任意1144()xxKerT有1144()()TTxx1144()()xTxT14((),,())TTx14(,,)xA因此Ax解得基础解系12(4,3,2,0),(1,2,0,1)TT则的基为()KerT112341123(,,,)432,212342124(,,,)2.（2）由于31241232,2214Im()(,,)TspanTT从而这说明3143(,,)T4122TTT14121233(,,)(2)222TT12(,)spanTT例2.4.1设线性变换A在基下的矩阵是求A的全部特征值与特征向量。解：求A的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。123,,222214241A所以A的特征值是3(二重)与-6。对于特征值3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：2222214241(3)(6)IA(3)0IAX210,201TT从而A的属于3的极大线性无关特征向量组是于是A属于3的全部特征向量是这里k1k2≠0。对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：1122132,2112212,,kkkkK(6)0IAX122T从而A的属于-6的极大线性无关特征向量组是于是A的属于-6的全部特征向量这里k为数域F中任意非零数。3123223,kkK称矩阵为多项式的友矩阵，这里例2.4.2对于多项式1110()nnnfxxaxaxannC()fx求C的特征多项式0211000001000010000aaaaCnnn解记由上式逐次递推得111100100100aaaadiiii对di按第一行展开,有di=di-1+ai,i1dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2)+an-1+an=…=n+a1n-1+a2n-2+…an-1+an接下来考虑线性变换在不同基下的矩阵特征值的关系：证:（1）|I-B|=|I-P-1AP|=|P-1(I-A)P|=|P-1||(I-A)||P|=|I-A|另：66页例2.4.5的结论：m阶方阵AB与n阶方阵BA有相同的非零特征值，从而有tr(AB)=tr(BA)；特别地，若A，B为同阶方阵，则AB与BA有相同的特征值.推论：若P-1AP=diag（1,2,…n），则1,2,…,n是A的n个特征值，C的第i个列向量是A的属于i的特征向量例2.5.1在多项式空间P[t]3中，设f(t)=a1+a2t+a3t2定义线性变换T[f(t)]=(a2+a3)+(a1+a3)t++(a1+a2)t2试求P[t]3的一组基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。T解：这里标准基在线性变换下的矩阵表示为21,,ttT011101110A矩阵A的特征值为1232,1属于2的特征向量为p1=(1，1，1)T属于-1的两个线性无关的特征向量为p2=(-1，1，0)Tp3=(1，0，-1)T,所以123111110(,,)101Pppp使得P-1AP=2211()(1,,)1ftttptt因此所求基为222()(1,,)1ftttpt2233()(1,,)1ftttpt显然可以验证线性变换满足T()[](),1,2,3iiiftftTi注鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。补