线性代数总复习及典型例题

线性代数总复习第一章行列式二阶行列式的计算方法.2112221122211211aaaaaaaa第一节n阶行列式的定义三阶行列式的计算方法——沙路法323122211211aaaaaa.312213332112322311aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaaD333231232221131211aaaaaaaaaDnnnn212)1(21)1(一些常用的行列式结果：nnnnaaaaaa000222112111122nnaaann21211.2.3.4.kkkkmmmmbbbb**aaaaDMMMMMM111111110**1111mmmmaaaaMM.1111kkkkbbbbMM行列式与它的转置行列式相等.性质1.1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质1.2式为零。推论1行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论2如果行列式中有一行(列)为零，那么行列第二节行列式的性质对换行列式的两行（列）,行列式变号.性质1.3则此行列式为零.推论如果行列式有两行（列）完全相同，比例，那么行列式为零．性质1.4如果行列式中有两行（列）对应成如果行列式的某一行（列）的元素都是则D等于下列两个行列式之和：例如第i行的元素都是两数之和性质1.5两数之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21221111211nnnniniinaaabbbaaaDMMMMMM212111211nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列把行列式的某一行（列）的各元素乘以性质1.6式不变．(倍加运算)计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．第三节行列式按行(列)展开数余子式的乘积，即.ijijAaD引理一个n阶行列式，如果第i行所有元素除ija外都为零，ija与它的代那么这个行列式等于定理1.3式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子行列式的某行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。式乘积之和等于零。行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.;,0,,1jijiDAankkjki当当;,0,,1jijiDAankjkik当当第二章矩阵及其运算一、矩阵的概念由个数nmnjmiaij,,2,1;,,2,1称为m行n列矩阵,简称矩阵.nm定义2.1排成的m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211Anm其中个数称为矩阵A的元素，数ija称为矩阵A的第i行第j列的元素.1.矩阵的基本概念加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘方阵的幂转置矩阵对称及反对陈矩阵方阵的行列式1.矩阵的基本运算：二、矩阵的运算2.矩阵的运算规律：;1ABBA交换律：.2CBACBA结合律：加法：;:1AA结合律:2分配律.BABA;AAA数乘：;1BCACAB,3ACABCBA;CABAACBBABAAB2（其中为数）;乘法：方阵的幂运算：kllkAA)(（2）lklkAAA（1）注意：.kkkBAAB;1AATT;2TTTBABA;3TTAA.4TTTABAB转置运算：由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成或A.detA定义2.1称为方阵A的行列式，记作的行列式，3.方阵的行列式及其性质AATBAAB方阵的行列式满足下列规律：（2）（3）（设A、B为n阶方阵，为数）（1）;AAn.列标三、逆矩阵1.基本概念定义2.8对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得EBAAB则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩.1A矩阵，或非奇异矩阵,记为说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的..11AA写成不能将注意各元素aij的代数余子式Aij构成如下n阶方阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵A的伴随矩阵.定义2.9,)(nnijaA设有n阶方阵A由行列式中*A注意:伴随阵与原矩阵A元素位置的对应关系..EAAAAA定理2.1设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则2.基本定理,11AAA且.的伴随阵是其中AA定理2.2设A为n阶方阵，则,0AA可逆或若(EAB推论设A、B都是n阶方阵，.1AB则,)EBAAA且可逆则数可逆若,,0,2且也可逆则为同阶可逆矩阵若,,,3ABBA1ABB11A.111AA.,,1111AAAA且也可逆则可逆若3.可逆矩阵的性质.,,4AAAAT且也可逆则可逆若TT11.,511AAA则有可逆若.1212AA推广1AmA1mA11A(1)利用定义（一般适用于证明题）(3)待定系数法(4)初等变换法:步骤如下;21AAA利用公式4.逆矩阵的计算方法);()1(EAM构造矩阵1,,)()2(AEEAEA对应部分即为右边后单位矩阵化为将施行初等行变换对M.21tAAAAtAOAOAA21设方阵分块对角矩阵的性质则1.可逆，且即矩阵则如果AAtiAi,0,,,2,10.21tAAAAoo11112.ktkkkAOAOAA21.3四、分块矩阵nn0000002211特殊地，如果是对角矩阵当且仅当nn,,2211都不为零时，是可逆矩阵，且11221111000000nnknnkkk0000002211则矩阵的初等变换包括3种：对换变换、数乘变换和倍加变换。这三种初等变换的过程都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换..列标五、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换与初等矩阵nmrOOOE定理2.3设A是一个非零矩阵，那么A一定nm可以通过有限次初等行变换化为行阶梯形及行最简形，再进行初等列变换化为如下标准形：其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.注意：初等变换不改变矩阵的可逆性。对于任何一个非零矩阵,都可以先进行初等行变换化为行阶梯形及行最简形,再进行初等列变换化为标准形.A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.定理2.4nm设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在ECCACRRRts2121121121)()(tsCCCERRRA1112111121CCCRRRtsn阶方阵A可逆的充要条件是存在有限.,,,,2121llPPPAPPP使得定理2.5个初等矩阵六、矩阵的秩求矩阵秩的方法(1)利用定义：寻找矩阵中非零子式的最高阶数(2)初等变换法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩对于n阶方阵A，如果A的秩等于n，则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.;)(nAR;0AA为可逆矩阵.对于n阶方阵A，下列命题等价：(1)A为满秩矩阵；(2)(3)(4)第三章线性方程组()nAR=()nAR有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组bAx;有唯一解bAxBRAR(1)无解(2)并且通解中有n-r个自由未知量.其中bABM()()BRAR=有解:非齐次线性方程组bAx的具体解法：(1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较以及n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。BRAR、(2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。bxAnn0A当m=n时，n元非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式推论()nAR=()nAR齐次线性方程组一定有解：0Ax(1)(2)并且通解中有n-r个自由未知量.0Ax0Ax只有零解有非零解齐次线性方程组0Ax的具体解法：(1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵，比较与n之间的大小关系，从而判断方程组解的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。AR(2)继续对行阶梯形矩阵施行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多个解，需写出通解形式。推论1;0A当m=n时，(1)齐次线性方程组(3.2)只有零解(2)齐次线性方程组(3.2)有非零解.0A推论2当mn时，即方程个数小于未知量个数时，齐次线性方程组(3.2)必有非零解.)(nmAR第四章向量组的线性相关性定义4.5设n维向量,,,,,sαααβ21,,,,skkk21ssαkαkαkβ2211如果存在一组数使得βsααα,,,21则称向量是向量组的线性组合或称向βsααα,,21可由向量组线性表示.量第二节向量组的线性相关性一、线性表示定理4.1βsααα,,,21向量可由向量组线性表示.BRAR的充分必要条件是矩阵sαααA,,,21的秩等βαααBs,,,,21于矩阵的秩，即说明：判断某个向量是否可由某向量组线性表示，可归结为非齐次线性方程组是否有解，从而取决于该方程组系数矩阵和增广矩阵的秩是否相等，所以该问题最终可利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵来解决.定义4.702211ssαkαkαk,,,,sααα21对于n维向量组如果存在一组使得,,,,skkk21不全为零的数021skkksααα,,,21sααα,,,21则称向量组线性相关.如果上式只有当时才成立,则称向量组线性无关.二、线性相关与线性无关.)(sAR条件是定理4.2线性相关的充分必要向量组s,,,21的秩小于矩阵条件是它所构成的),,,(21sA;)(sAR,s即向量个数必要向量组线性无关的充分于是判断某向量组的线性相关性，可归结为齐次线性方程组是否有非零解，从而取决于方程组系数矩阵的秩，所以该问题最终可利用初等行变换化系数矩阵为阶梯形矩阵来解决.nαααA,,,21的充分必要条件是它所构成的矩阵;0A的行列式等于零，即向量组线性无关的充分必推论1,nsnααα,,,21若则n个n维向量线性相关.0A要条件是推论2,ns即向量组中向量个数大于向量维数时，若向量组必线性相关.,,,,21sαααA事实上，记，因为snAR.,,,21线性相关故sαααβαααBs,,,,:21221sαααAs,,,:(1)向量组线性相关(A)中至少有一个向量能由其余线性相关，则向量定理4.3的充分必要条件是：sαααA,,,:21线性无关，而向量组(2)设向量组向量线性表示.β一定可由向量组(A)线性表示，且表示式是惟一的.三、相关定理定义4.8设有向量组,,,,sααα:21Arjjjααα,,,21而是(A)的部分向量组,如果(1