数字信号处理教程复习提纲

光电工程学院数字信号处理数字信号处理各种域和各种变换关系图1光电工程学院数字信号处理2•第一章绪论1.信号的基本概念模拟信号，离散时间信号，量化阶梯信号，数字信号（自变量连续、离散；幅值连续、离散）2.信号处理系统模拟系统，离散系统，数字系统3.数字信号处理的特点精度高、可靠性强、灵活性好、大规模集成4.模拟信号的数字处理系统5.数字信号处理的基本内容6.数字信号处理技术的应用通信工程、语音处理、图像处理、仪器仪表、生物医学等光电工程学院数字信号处理3•第二章离散时间信号与系统1.离散时间信号-序列常用序列：单位取样序列、单位阶跃序列、指数序列、周期序列序列的基本运算：加、乘、标量乘、移位、反转、尺度变换、相关运算。序列的表示：2.线性非时变（LTI）系统时域分析LTI系统的定义，单位取样响应，输入输出关系（线性卷积、卷积运算），因果稳定性概念，LTI因果稳定的充要条件，LTI系统差分方程的时域求解。mmnmxnx光电工程学院数字信号处理42.1.1离散时间信号——一个时间信号表示为x(t)，其自变量时间t取等间隔离散值(…，-T,0,T,2T,…,nT，…)后得到的结果为(…，x(-T),x(0),x(T),x(2T),…,x(nT),…)，这里n取整数，称为离散时间信号。此时信号是由一串大小不等的数值序列构成，故又称序列，简记为x(n)。信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则可用集合符号表示，例如：x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}第一节nTtatxnx2n0,2n,)21(411nxn光电工程学院数字信号处理52.1.5任意序列的表示任意序列可表示成单位取样序列的移位加权和。mmnmxnx)()()(mnmnxmnmx其他,0),()()(光电工程学院数字信号处理6第二节线性移不变离散时间系统的时域分析离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。设变换或运算关系用T［·］表示，则输入与输出之间的关系可表示为：根据输入与输出的关系，可将离散时间系统分为四类：线性移不变系统、线性移变系统、非线性移不变系统以及非线性移变系统。其中最重要、最常用的是线性移不变系统。这是因为许多实际的物理过程都可以用它来表征，数学上易于描述，理论上又便于分析。本书中仅限于讨论这类系统。x(n)离散时间系统T[·]y(n)光电工程学院数字信号处理72.2.1一个离散时间系统同时具有线性和移不变性质，则称该系统为线性移不变系统。（1）线性系统线性系统是指满足线性叠加原理的系统，即具有线性性质的离散时间系统。设x1(n)和x2(n)分别为系统的输入序列时，其对应的输出序列分别为y1(n)和y2(n)，即：又设输入序列x(n)=ax1(n)+bx2(n)，a，b为任意常数，对应的输出序列为y(n)，如果y(n)满足下式：1122()(),()()ynTxnynTxn12ynTxnaynbyn则称该系统满足线性叠加原理，具有线性性质。光电工程学院数字信号处理8（2）移不变性定义：设y(n)=T[x(n)]，对任意常整数n0，若成立，则称该系统为移不变系统，或者说该系统具有移不变性质。所谓移不变系统是指具有移不变性质的系统，即系统对输入序列的运算关系在整个运算过程中保持不变，或者说系统对输入信号的响应与信号加于系统的时刻无关。系统移不变性也可这样理解：一个系统的功能和特性参数不会随时间发生变化，只要输入x(n)是相同的，无论何时进行激励，输出y(n)总是相同的，这就是系统移不变性的特征。光电工程学院数字信号处理92.2.2定义：设任一离散时间系统的输入输出运算关系为y(n)=T[x(n)]，当输入序列x(n)为δ(n)时，对应的输出序列y(n)称为系统的单位取样响应，记为h(n)，即：()[()]hnTn光电工程学院数字信号处理102.1.3线性移不变系统输入输出关系描述——设系统的输入序列为x(n)，它可以表示为单位取样序列的移位加权和，即:那么，系统对应的输出为：如果该系统是一线性移不变系统，根据其线性则有：又根据移不变性和h(n)定义，则有：线性系统满足比例性和可加性移不变性光电工程学院数字信号处理11所以此时系统输出为：上式称为序列x(n)和h(n)的线性卷积，这种运算关系用“*线性移不变系统h(n)x(n)y(n)()()()()*()mynxmhnmxnhn单位取样响应h(n)从时域描述了一个线性移不变系统，即一个线性移不变系统由对应的单位取样响应h(n)决定。光电工程学院数字信号处理122.2.4线性卷积的性质和计算方法（1）性质线性卷积运算具有“积”的相同性质，即线性卷积运算满足交换律、结合律和分配律，分别用公式表示如下：不存在微分、积分性质。1．交换律)()()()(nxnhnhnx)]()([)()()]()([2121nhnhnxnhnhnx)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxnnx2．结合律3．分配律4．nx光电工程学院数字信号处理13(2)卷积计算方法两个序列的线性卷积求和运算的计算方法有图解法和公式法。图解法适于易于作图的序列之间的卷积计算，而公式法适于用闭合函数式表示的序列之间的卷积计算。从式（2.2.10）的定义可知，任一时刻n的卷积计算结果y(n)是x(m)与h(m)经过反转并移位n个点以后的h(n-m)对应相乘并求和而得到。具体的计算过程通过例子加以说明。光电工程学院数字信号处理14卷积计算1.解析式法2.图解法(板书)3.对位相乘求和法离散卷积过程：序列倒置移位相乘取和mmnhmxnhnx范围共同决定。范围由)(),(nhnxm4.序列排列法（板书）光电工程学院数字信号处理15)()(}1,2,3{)(}1,2,3,4{)(210201nxnxnynxnxnn求：，，已知例2使用对位相乘求和法求卷积两序列右对齐（最高位）→逐个样值对应相乘但不进位→同列乘积值相加（注意n=0的点）光电工程学院数字信号处理16123:02nnx12341234:01nnx2468369121410161712:0nny1}410161712{0，，，，，所以nny最高位对齐对应相乘同列相加解：光电工程学院数字信号处理172.2.5系统的稳定性、因果性对于线性移不变系统是因果系统的充要条件：稳定性的充要条件：nSnh00nhn单位取样响应绝对和为有限值（绝对可和）收敛。因果系统：输出变化不领先于输入变化的系统。稳定系统：输入有界，输出必有界的系统。nunhnh或PnMnxy，则若光电工程学院数字信号处理18例nuanhn0)(0nhn时，即收敛，时，只有当nha1(1)讨论因果性：(2)讨论稳定性：因为是单边序列，nnh)(所以系统是因果的。系统稳定1111aaa0nna光电工程学院数字信号处理19例：h(n)=-anu(-n-1)①因果性②稳定性当n0时，h(n)≠0当|a|1时系统稳定非因果nnh)(1111aaa1nna1nna11nna因果序列：序列当n0时等于零，则此序列为因果序列。即当n0时，x(n)=0一个线性非移变系统是因果系统的充分必要条件是其单位冲激响应为因果序列。光电工程学院数字信号处理202.2.6常系数线性差分方程对一个系统的数学描述主要是输入输出之间的关系。对连续时间系统，通常采用微分方程描述；对离散时间系统就用差分方程进行描述。而其中常用的一类线性移不变系统则可用常系数线性差分方程描述。一个N阶常系数线性差分方程用下式描述：101iM0jjainyajnxbnyNiM0jj0ijnxbinyaNi式中，ai和bj均为与n无关的常数，体现“时不变”特性，式中y(n-i)和x(n-j)项只有一次幂，体现“线性”特性，故称为线性常系数差分方程。光电工程学院数字信号处理21已知系统的输入序列x(n)，可以通过求解差分方程获得系统的输出序列y(n)。对差分方程的求解通常有三种方法：（1）经典解法：齐次解和特解，复杂。分三步：求通解，得到系统的零输入响应；求特解，得到系统的零状态响应；求全解，将通解、特解相加。（2）变换域解法：Z变换后再逆Z变换。对差分方程两边取单边Z变换，并利用Z变换的位移特性把差分方程转变为Z域的代数方程，再将求解结果进行反Z变换，得到解的时域表达式。（3）递归解法：在给定输入和初始条件下，直接有差分方程按递推的办法求系统的瞬态解。光电工程学院数字信号处理22•第二章离散时间信号与系统3.离散时间信号与系统的频域分析（1）序列频谱（DTFT），DTFT的性质(时移、频移、对称、卷积)（2）系统频域分析-系统频率响应，LTI系统输入输出之间的频域关系：4.离散时间信号与系统的Z域分析(1)Z变换的定义、收敛域、主要性质；逆Z变换及其计算方法。(2)Z变换与序列之间的对应关系(3)差分方程的Z域求解（零输入解+零状态解）(4)系统函数零极点分析，系统因果稳定与其极点的关系，系统函数零极点与频率响应的关系5.采样定理jjjeXeHeY光电工程学院数字信号处理23[()]()()jjjjArgHeHeHee()jHe——幅频特性；[()]jArgHe——相频特性[()],jArgHe为常数若，则系统为线性相位系统。2.3.3系统的频率响应特性1.系统频率响应特性的定义对于一个线性移不变系统，设其单位取样响应为h(n),则称为系统的频率响应特性。()[()]()jjnnHeDTFThnhne线性移不变系统的频率响应特性为系统单位取样响应序列的傅里叶变换。光电工程学院数字信号处理243.LTI系统输入输出之间的频域关系•时域：•频域：()()()ynxnhn()()()jjjYeXeHe卷积定理序列通过LTI系统后，其输出序列的频谱可能发生改变，但这种改变完全由系统的频率响应特性决定。光电工程学院数字信号处理252.4离散时间信号与系统的Z在线性连续时间系统中，我们使用微分方程描述系统的性能，利用拉普拉斯变换求解系统的响应。然而，在离散时间系统中，我们使用差分方程来描述系统的性能，利用Z变换求解系统的响应。DTFT在表述和分析离散时间信号与系统中具有重要意义。z变换是DTFT的推广（做这种推广的动机）并不是所有序列的DTFT都收敛z变换在分析问题时表述更简洁z变换在离散时间信号与系统分析中的地位等同于Laplace变换在连续时间信号与系统分析中的地位。光电工程学院数字信号处理262.4.1z变换的定义及其收敛域1、Z变换的定义•序列x(n)的傅里叶变换(DTFT)•序列x(n)的z变换定义为()()jjnnXexne()()nnXzxnz其中，z为复变量。为方便起见，x(n)的z变换通常表示为，x(n)与X(z)的关系可表示为。()[()]XzZxn()()zxnXz光电工程学院数字信号处理27•在序列的频域分析中，我们知道并非所有序列的傅里叶变换都是收敛的。•同样地，序列的z变换也并不是对所有z的取值都是收敛的。•对于任意序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的z值的集合称为X(z)的收敛域(RegionofConvergence,ROC)，一般收敛域用环状域表示，如何确定序列z变换的