小学六年级奥数题：定义新运算(A)---习题详解

三、定义新运算（一）年级班姓名得分一、填空题1.规定a☉b=abba,则2☉(5☉3)之值为.2.规定“※”为一种运算,对任意两数a,b,有a※b32ba,若6※x322,则x=.3.设a,b,c,d是自然数,定义bcaddcba,,,.则,3,2,1,4,4,3,2,13,4,1,21,4,3,2,.4.[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([=.5.规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.6.两个整数a和b,a除以b的余数记为a☆b.例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9)☆4=.7.对于数a,b,c,d规定dcabdcba2,,,.如果7,5,3,1x,那么x=.8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246,1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=.9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]=.10.假设式子baa#表示经过计算后,a的值变为原来a与b的值的积,而式子bab#表示经过计算后,b的值为原来a与b的值的差.设开始时a=2,b=2,依次进行计算baa#,bab#,baa#,bab#,则计算结束时,a与b的和是.二、解答题11.设a,b,c,d是自然数,对每两个数组(a,b),(c,d),我们定义运算※如下:(a,b)※(c,d)=(a+c,b+d);又定义运算△如下:(a,b)△(c,d)=(ac+bd,ad+bc).试计算((1,2)※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264222表示成664f;33333243表示成5243g.试求下列的值:(1)128f;(2))()16(gf;(3)6)27()(gf;(4)如果x,y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(yfxfyxf.14.两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.———————————————答案——————————————————————1.120411.5☉3=15165335,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516.2.8.依题意,6※326xx,因此322326x,所以x=8.3.280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3原式2801014141014,10,14,10.4.5.因为23218有6)12()11(个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(.5.9.因为4※1=101243,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.6.0.89226,26☆9=8,又428,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7.6.因为xxx15312,5,3,1,所以71x,故6x.8.86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9.25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10.14.第1次计算后,422a;第2次计算后,224b;第3次计算后,824a;第4次计算后,628b.此时1468ba.11.(1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12.原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13.(1)72)128(7ff;(2))81(342)16(44ggff;(3)因为)8(233636)27(633ffgg,所以6)27()8(gf;(4)令,2,2nmyx则nyfmxf)(,)(.)()(222)(yfxfnmffyxfnmnm.14.(1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x11,这时x除11余2,x整除11-2=9.又x≥3(因为x应大于余数2),所以x=3或9.2)x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x20,所以x=11+2=13.因此(2)的解为x=3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.当y=7时,分两种情况解19☉x=7.1)x19,此时x除19余7,x整除19-7=12.由于x≥8,所以x=12.2)x19,此时19除x余7,x是19的倍数加7,由于x50,所以x=19+7=26或7219x=45.当y=14时,分两种情况解19☉x=14.1)x19,这时x除19余14,x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.