南邮数理方程2行波法与傅里叶变换

数理方程南京邮电大学、数理学院数学物理方程主讲：周澜:[e-mail]南京邮电大学、理学院、应用物理系EquationsofMathematicalPhysics数理方程南京邮电大学、数理学院1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题数理方程南京邮电大学、数理学院)0,(2txuauxxttxut0|xutt0|弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的泛定方程:atxatx考虑代换数理方程南京邮电大学、数理学院利用复合函数求导法则得uuuuuxxx22()()uuuuuxxx222222uuuatxatx同理：22222222(2)uuuuat数理方程南京邮电大学、数理学院2ttxxuau代换后：20u20uu由于：)(fu再对积分得：2,fdftxu12fxatfxat即为原方程的通解数理方程南京邮电大学、数理学院u2x2()fxaat=0u2xa3au2x32a2at=1/2u2x2at=1t=2考虑的物理意义22()ufxat随着时间t的推移u2的图形以速度a向x轴正向移动.数理方程南京邮电大学、数理学院对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为两个方向传播出去，波速为，也即:a)(1atxfax以速度沿负方向移动的行波2()fxatax以速度沿正方向移动的行波12(,)uxtfxatfxat（1）物理意义：数理方程南京邮电大学、数理学院(2)函数21ff和的确定若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界条件，只有初始条件。设初始条件为：)()()(00xxuxuttt把初始条件代入泛定方程的通解，得到:121212120()()()()()()1()()()()()()xfxfxxfxfxxafxafxxfxfxdCa102011()()()22211()()()222xxCfxxdaCfxxda12(,)uxtfxatfxat数理方程南京邮电大学、数理学院102011()()()22211()()()222xatxatCfxatxatdaCfxatxatda1211[()()]()2(,))()2(xatxatxatxatuxtfxatfxdaat——无限长弦振动的达朗贝尔公式00()()()tttuxxux只要知道初始条件：就可得到波动方程的解数理方程南京邮电大学、数理学院1011(,)()()()d22xatxatuxtxatxata结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波速为a的波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波1(,)()()2uxtxatxat()xat()xatb.只有初始速度时：假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于01(,)()d2xatxatuxta11(,)()()uxtxatxat数理方程南京邮电大学、数理学院11222|,|,0002xttxtxxttaxeueuxuau222()()1122(,)[]2xatxatxatsaxatuxteeaseds解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222][atxatxsatxatxeee222[][21)()(212)(atxe11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata例：达朗贝尔公式的应用数理方程南京邮电大学、数理学院解：根据图形，初始位移为212211210211121002222)(xxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux或根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出)(21)(21),(atxatxtxu该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度a移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个时刻的波形。例2、初速为零0)(x，而初始位移)(x只在区间),(21xx上不为零，于2/)(21xxx处达到最大值，如图所示，求出该问题的解。)(x1x2x221xxx1t2t3t4t5t0tuxxxxxx1x2x0u数理方程南京邮电大学、数理学院1311(,)()()()d22xatxatuxtxatxata1xx2xt2xxat影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域2x2xxatxxatxat依赖区间t(,)PxtxatC特征线特征变换行波法又叫特征线法atxatx解在点（x,t）的数值仅依赖于[x-at,x+at]内的初值条件.该区域中各点的数值完全由区间[x1,x2]上的初值条件决定，故称为该区间的决定区域数理方程南京邮电大学、数理学院常数atx0222dtadx2ttxxuau的积分曲线,这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程.一维波动方程的两族特征线恰好是常微分方程2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：其特征方程为：22()2()0AdyBdxdyCdx数理方程南京邮电大学、数理学院032yyxyxxuuu例求下面问题的解:解:特征方程03222dxdxdydy两族积分曲线为13Cyx2Cyx做特征变换yxyx3203|xuy0|0yyu(3)0dydxdydx数理方程南京邮电大学、数理学院3uuuuuxxx22(3)(3)uuuuuxxx2222296uuu2(3)(3)uuuuuxyyy2222232uuuyxyx3数理方程南京邮电大学、数理学院uuuuuyyy22()()uuuuuyyy222222uuu02u代入方程化简得:yxyx3数理方程南京邮电大学、数理学院02u的通解为:1212()()(3)()ufffxyfxy代入初始条件得：203|xuy0|0yyu212(3)()3fxfxx''12(3)()0fxfx可解得：12133fxfxC2193'4fxxC223'4fxxC数理方程南京邮电大学、数理学院代入通解可得：2222343341,yxyxyxyxu数理方程南京邮电大学、数理学院2222sincos0dyxdxdyxdx解特征方程为特征曲线为1cosCxxy2cosCxxy例2求方程22sincoscos0xxxyyyyuxuxuxu的一般解.sin1dyxdx数理方程南京邮电大学、数理学院xyxcosxyxcos所以，做变换则原方程可以变为02u)cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中,是任意的二次连续可微函数.1f2f于是，方程的通解为数理方程南京邮电大学、数理学院注意：并不是任意一个二阶齐次偏微分方程2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy都有两条实的特征线。2dyBBACdxA记2(,)xyBAC0),(yx双曲型方程0),(yx椭圆型方程0),(yx抛物型方程数理方程南京邮电大学、数理学院0),(yx双曲型方程0),(yx椭圆型方程0),(yx抛物型方程双曲型方程过其中每一点有两条不同的实的特征线椭圆型方程过其中每一点不存在实的特征线抛物型方程过其中每一点有一条实的特征线数理方程南京邮电大学、数理学院2、三维波动方程的初值问题（平均值法）),,(|000022zyxu(x,y,z)u|,tx,y,z-uautttttatxatxdaatxatxatxfatxftxu)(21)]()([21)()(),(21达朗贝尔公式:atxatxatxatxdattdattt)(2])(2[三维波动问题可以看为无穷个方向的一维波动问题的叠加数理方程南京邮电大学、数理学院物理意义：（1）空间任一点M在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，at为半径的球面上初始状态决定；（2）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。dstatdstatttzyxuMatMatSS),,(4]),,(4[),,,(2222数理方程南京邮电大学、数理学院一维三维区间:球面：区间中心：球心：区间半径：球半径：区间长度：（积分区间）球的表面积：（积分区间）函数在区间上的均值：函数在球面上的均值：22222)()()(tazyx],[atxatxx),,(zyxMatatat2224taatxatxdfat)(21MatSdsfta),,(4122),,(zyxf)(xf数理方程南京邮电大学、数理学院0y,cos|u1x,|u0y1,x,1x20y22yxyxyxuExamples:1、解边值问题：2、求解下列问题：2000(,)|sin,|costtxxtttuauxuxuax数理方程南京邮电大学、数理学院3、求解定解问题x-,sin|u,0|u0t,x-,sin0tt0t2222xxtxutu4、求解定解问题2002|,5|xuueuautttxxxtt数理方程南京邮电大学、数理学院5、求解定解问题2/302/3021||06232xyyxyyxyyxyxxeueuuuuuu6、求下列方程的特征线，并化为标准形式0coscos22yyxyxxuxuxu数理方程南京邮电大学、数理学院傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换