博弈论第二章习题

1问题1：博弈方2就如何分10000元钱进行讨价还价。假设确定了以下原则：双方提出自己要求的数额1s和2s，10000021ss，。如果设博弈方1和，1000021ss，则两博弈方的要求都得到满足，即分得1s和2s；但如果1000021ss，则该笔钱就被没收。问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？如果你是其中一个博弈方，你会选择什么数额，为什么？解：112111210000()010000sssusss，那么，1210000ss221222110000()010000sssusss那么，2110000ss它们是同一条直线，1210000ss上的任意点12(,)ss，都是本博弈的纯策略的Nash均衡。假如我是其中一个博弈方，我将选择15000s元，因为(5000,5000)是比较公平和容易接受的。它又是一个聚点均衡。问题2：设古诺模型中有n家厂商。iq为厂商i的产量，nqqqQ21为市场总产量。P为市场出清价格，且已知QaQPP)(（当aQ时，否则0P）。假设厂商i生产产量iq的总成本为iiiicqqCC)(，也就是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数)(acc。假设各厂同时选择产量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？解：1()niiijijpqcqacqq，1,2,,in令20iijjiiacqqq，1,2,,in解得：***121nacqqqn，2***121nacn当n趋向于无穷大时，这是一个完全竞争市场，上述博弈分析方法其实已经失效。问题3：两寡头古诺模型，QaQPP)(，但两个厂商的边际成本不同，分别为1c和2c。如果2/0aci，问纳什均衡产量各为多少？如果acc21，但122cac，则纳什均衡产量又为多少？解：双方的反应函数联立求解12112222qqacqqac，解得：*112*2121(2)31(2)3qaccqacc当0/2ica，就是这个博弈的Nash均衡。如果12cca，但212cac，当然可以推得*20q。那么厂商1就变成垄断商它的最佳产量当然是*12acq，它的利润是：2*14ac。问题4：如果双寡头垄断的市场需求函数是QaQPP)(，两个厂商都无固定成本边际成本为相同的常数c。如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量。证明：这2是一个囚徒困境型的博弈。解：古诺产量3ac，垄断产量的一半4ac，那么()iiacQq分别有四种情况：29ac，28ac，2536ac，2548ac厂商二厂商一古诺产量3ac垄断产量的一半4ac古诺产量3ac29ac，29ac2536ac，2548ac垄断产量的一半4ac2548ac，2536ac28ac，28ac双方都有偷步的行为，直至达到古诺产量，达到均衡。问题5：两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为PQ100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？解：112111(100)qqqcq，212222(100)qqqcq令1112110020cqqq，2221210020cqqq代入**1220,30qq，所以：1230,20cc。问题6：两个企业1、2各有一个工作空缺，企业i的工资为iw，并且121)2/1(。设有两个工人同时决定申请这两个企业的工作，规定每个工人只能申请一份工作，如果一个企业的工作只有一个工人申请，该工人肯定能得到这份工作；但如果一个企业的工作同时有两个工人申请，则企业无偏向地随机选择一个工人，另一个工人则会因为错过向另一个企业申请的时机而失业（这时收益为0）。该博弈的纳什均衡是什么？该博弈的结果有多少种可能性，各自的概率是多少？解：工人2工人1企业1企业2企业1112w，112w1w，2w企业22w，1w212w，212w有两个纯策略均衡，还有混合策略均衡。12122，2112211问题7：五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益v是鸭子总数N的函数，并取决于N是否超过某个临界值N；如果NN，收益NNvv50)(；如果NN时，0)(Nv。再假设每只鸭子的成本为2c元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？问题7：in是第i个农户养鸭子的数量，12345Nnnnnn，当NN时，3()2(50)2iiiiiunvNnnNn，1,2,3,4,5i0,1,2,3,4,5iiuin，那么1234512345123451234512345248248248248248nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn，那么*****123458nnnnn（1）如果5840N，则上述临界条件成立，五户居民每户养8只鸭子，就是该博弈的Nash均衡。（2）如果40N，那么上述条件不成立，*****123455Nnnnnn问题8：应用均衡概念和思想讨论下列得益矩阵表示的静态博弈。博弈方2博弈方1LRU6，62，7D7，20，0解：有两个纯策略Nash均衡。（U，R）和（D，L），但还有一个混合策略Nash均衡。21,33，21,33。但效率不高，双方的期望收益都是143；不如（U，L）的效率高，（U，L）是Pearto均衡。应该设置一种机制，促使该Pearto均衡实现。问题9：三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵1：妻子丈夫活着死了活着1，1-1，0死了0，-10，0矩阵2：妻子丈夫活着死了活着1，11，0死了0，10，0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着-1，-11，0死了0，10，09解：矩阵1有两个Nash均衡（活着，活着），（死了，死了）和混合策略Nash均衡1111,,2222。两人的感情很好，同生死，共患难，极度恩爱，单独活着反而更加痛苦。矩阵2有三个Nash均衡，（活着，活着），（活着，死了），（死了，活着）。说明两人感情恶化，生活很不幸福。一方死了，另一方更好，但没有到相互不可容忍的地步。这说明夫妻感情很不好，处于相当危险的状态。矩阵3有两个Nash均衡，（活着，死了），（死了，活着）。达到你死我活、势不两立的程度。这说明这对夫妻感情状态极度恶化，已经相互仇恨到了不共戴天的程度。4。问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？①0a，不借—不分—不打；②01a，且2b，借—不分—打；③1a，且2b，借—不分—打(,)ab；④0a，且2b，借—分—（2，2）问题2：三寡头市场需求函数QP100，其中Q是三个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？1123111231(100)2(98)qqqqqqqqq2123221232(100)2(98)qqqqqqqqq3123331233(100)2(98)qqqqqqqqq331230,(98)/2qqqq代入，11212122(98)/2,(98)/2qqqqqq12120,0qq，得***12398/3,49/3qqq***1234802/9,2401/9。问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。（1）若a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？（2）TNL是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？乙甲乙借不借分不分打不打（1，0）（2，2）（a，b）（0，4）5（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，博弈方2在第二阶段选择M。（2）不可能。TNL带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a和b是什么数值，该路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。（3）由于TNL不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为LNS，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须300,300ab。问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。（1）用扩展型表示这一博弈。（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？企业乙企业甲高档低档高档500，5001000，700低档700，1000600，600扩展型表示的博弈若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，所以：甲的策略为：选择生产高档产品；乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。甲乙乙高低低低高高（500，500）（1000，700）（700，1000）（600，600）121LRMNST300，0200，200（a，b）50，3006两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施）实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润函数是qcaqp21)（，企业2的利润函数是pbq22)（，其中p是企业1的价格，q是企业2的价格。求：（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；（4）是否存在参数cba,,的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？解：（1）122()02()0paqcpqbq，解得：,pabcqc12,babc（2）22()0qbq，代入得到21)pabcb（，12)0pabcp（，得pabc，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价pabc，企业2的定价qb，利润也与（1）相同。与同时选择无异。（3）将paqc代入222))qbpqbaqc（（22)0qbaq（，解得2aqb，代入得22apabc甲乙不给给实施不实施（-1000，1000）（0，0）（-∞，-∞）7*12abb，2*24aabcabc