圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算圆中阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解，下面谈谈求解阴影部分面积的方法。例1如图1，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积。分析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而△ABC不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形，连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB。则阴影部分面积为扇形AOB面积。解连接OB、OC，如图2因为BC∥OA所以△ABC与△OBC在BC上的高相等所以OBCABCSS，所以扇形阴SS又∵AB是⊙O的切线所以OB⊥AB，而OB＝2，OA＝4所以∠AOB＝60°，由BC∥OA得∠OBC＝60°所以△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°SBOC扇形×60360232例2如图3，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。分析图3中阴影部分面积为：以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积；而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。解∵OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm∴4360490S2AOB扇形（cm2）又)cm(24AB所以)cm(4222S22）（半圆而22AOBcm)84(S),cm(8S弓形所以故28cm8)4(4SSS弓形半圆阴例3如图4，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？分析五个扇形的圆心角分别为nnnnn12345°，°，°，°，°而nnnnn12345540°解设这个五个扇形的圆心角的度数分别为54321n,n,n,n,n。∵五边形ABCDE内和角等于540°则nnnnn12345540五个扇形面积之和等于SSSSS扇形扇形扇形扇形扇形12345nrnrnrnrnr1222324252360360360360360rnnnnn212345360()32例4如图5，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。分析SSSOC阴半圆⊙半圆⊙所以关键是求⊙O半径OB或OM或ON⊙C半径AC或CO或CD而MN为⊙C切线，CD⊥MN且CD为⊙C半径解如图6过O作OE⊥MN于E，则OE平分MNMEENMNcm124∵MN∥AB可得四边形EOCD为矩形所以OE＝CD，连接ON在Rt△EON中ONOEEN22216ON＝4SONOE阴×121216822)求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.第4题.（2008江西省南昌市，8分）如图，AB为O的直径，CDAB于点E，交O于点D，OFAC于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当30D，1BC时，求圆中阴影部分的面积．答案：解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BCBD；②OFBC∥；③BCDA；④BCEOAF△∽△；⑤2BCBEAB；⑥222BCCEBE；⑦ABC△是直角三角形；⑧BCD△是等腰三角形．3分（2）连结OC，则OCOAOB．30D，30AD，120AOC．4分AB为O的直径，90ACB．在RtABC△中，1BC，2AB，3AC．5分OFAC，AFCF．OAOB，OF是ABC△的中位线．CBAOFDECBAOFDE．1122OFBC111332224AOCSACOF△．6分2133AOCSOA扇形．7分334AOCAOCSSS△阴影扇形．8分说明：第（1）问每写对一条得1分，共3分．