圆与方程知识点总结及习题(答案

第四章圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的位置关系：当2200()()xayb2r，点在圆外当2200()()xayb=2r，点在圆上当2200()()xayb2r，点在圆内（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是（A.a＜-2或a＞32B.-32＜a＜0C.-2＜a＜0D.-2＜a＜32答案D2.（2009·河南新郑模拟）圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、b∈R）对称，则ab的取值范围是（A.41，B.410，C.0,41D.41,答案A3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是（A.（x-3）2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.（x-1）2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4答案C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为（A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9答案C5.（2009·宜昌模拟）直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2(r＞0)的圆心位于（）A.第一象限B.C.第三象限D.答案B例1已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A.x2+y2-2x-3=0B.x2+y2+4x=0C.x2+y2+2x-3=0D.x2+y2-4x=0答案D例2已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2y1+y2=4,y1y2=.512m∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为321，,半径r=25.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴21MOk.O1M的方程为:y-3=221x,即：y=2x+4..03242yxxy解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴2121(3-2)2+5=44)6(12m∴m=3.∴半径为25,圆心为3,21.方法三设过P、Qx2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.∴m-3=0，即m=3.x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圆心M2)3(221，，又圆在PQ上.∴-21+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.3,21，半径为25.例3（12分）已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时,3202b，解得b=-2±6.5分所以y-x的最大值为-2+6，最小值为-2-6.6分（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8又圆心到原点的距离为22）00（）02（=2所以x2+y2的最大值是（2+3）2=7+43x2+y2的最小值是（2-3）2=7-43.12圆与直线方程例1已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l（2）与l（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明配方得：（x-3m）2+［y-（m-1）］2=25设圆心为（x，y），则,13mymx消去ml：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0l1d=10310)1(33bbmm.∵圆的半径为r=5∴当d＜r，即-510-3＜b＜510-3当d=r,即b=±510-3当d＞r，即b＜-510-3或b＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=103b（4）弦长=222dr且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=33b,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=33b.y=33b(x-b),3x-(b+3)y-3b=0.∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,21,∴2)3(932）3（6bbb=1,解得b1=-43,b2=1.∴kAB=-34或kAB=-43.l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法二已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(x+3),则22155kk=1,12k2+25k+12=0.∴k1=-34，k2=-43.l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.方法三设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴,1122332kbkkbkk消去b得2155kk=1.12k2+25k+12=0,∴k1=-34,k2=-43.则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.例3已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2解对于圆C1与圆C2C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果C1与C2外切，则有22)2(）1（mm=3+2.(m+1)2+(m+2)2=25.m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.（2）如果C1与C2内含，则有22)2(）1（mm＜3-2.(m+1)2+(m+2)2＜1,m2+3m+2＜0,-2＜m＜-1,∴当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.例4（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x-12y+24=0.（1）若直线l过P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如图所示，AB=43，D是AB的中点，CD⊥AB，AD=23，圆x2+y2+4x-12y+24=0可化为（x+2）2+（y-6）2=16，圆心C（-2，6），半径r=4，故AC=4在Rt△ACD中，可得CD=2.2设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式：22)1(562kk=2，得k=43.此时直线l的方程为3x-4y+20=0.4又直线l的斜率不存在时，此时方程为x=0.6则y2-12y+24=0,∴y1=6+23,y2=6-23,∴y2-y1=43,故x=0满足题意.∴所求直线的方程为3x-4y+20=0或x=0.8方法二设所求直线的斜率为ky-5=kx,即y=kx+5,联立直线与圆的方程,024124522yxyxkxy消去y得（1+k2）x2+(4-2k)x-11=0①2设方程①的两根为x1,x2,221221111142kxxkkxx②4由弦长公式得21k|x1-x2|=,34]4))[(1(212212xxxxk将②式代入，解得k=433x-4y+20=0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0.∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0.8（2）设过P点的圆C的弦的中点为D（x,y）,CD⊥PD，即CD·PD=0，（x+2,y-6）·(x,y-5)=0,x2+y2+2x-11y+30=0.3.求过点P（4，-1）且与圆C：x2+y2+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程.解方法一设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r,则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3则rnmnmmn2222)1()4()2()1(113212,解得m=3,n=1,r=5,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.方法二因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0,所以设所求圆Ax2+y2+2x-6y+5+(2x-y)=0,因为点P（4，-1）在圆上，所以