圆柱齿轮跨齿数计算公式合理性的研究

1圆柱齿轮跨齿数计算公式合理性的研究中煤北京煤机公司退休职工周万峰摘要：文章验证了某些跨齿数计算公式的合理性与不合理性，并指出造成这些公式在某种情况下不合理性的原因。同时将笔者给出的精确公式及经验公式推荐给读者。关键词：跨齿数计算公式，公法线长度，公法线长度测量点所在圆。1、概述大家知道，凡计算公法线长度，首先应该计算跨齿数k，然后才能计算跨k个齿的公法线长度。因此，欲使公法线长度合理，首先跨齿数应该是合理的。也就是说跨齿数计算公式应该是合理的。然而今天教材、手册上不少跨齿数计算公式不仅计算出的k值各不相同，就是确定的跨齿数也是不尽一样的（本来应该是一样的）：有的相差一齿，有的相差二齿，有的甚至相差还多。这种情况表明这些公式是有正有误，有优有劣的。跨齿数不同，公法线长度自然不同；公法线长度不同，公法线测量点（量具卡脚与齿廓的切点）在齿廓上的部位当然也就不一样。当跨齿数偏多时，公法线的测量点靠近齿顶；当跨齿数偏少时，公法线的测量点靠近齿根。这两种情况都使公法线长度测量不准，影响齿厚精度。那么合理的测量点应在齿廓的哪个部位呢？合理的测量点应在齿高的中点部位。即应在“xmd2圆”上（因为标准齿轮的0x，故标准齿轮的公法线的测量点应在“分度圆上”）。但由于跨齿数k的计算值4舍5入，故公法线的测量点一般都不在“xmd2圆”上，而是在它的附近。不言而喻，公法线测量点离“xmd2圆”越近，说明公法线长度越合理。故验证跨齿数计算公式合理与否的根据也就在这里。2、介绍几个跨齿数计算公式前面说过，同一个齿轮因使用的公式不同，它的跨齿数有时是不一样的：即有时多跨（或少跨）1~2齿，这样就使得公法线的测量点不在齿廓的合理部位。这说明公式是不甚合理的。在众多跨齿数计算公式中，下面的这个公式就不是个情况良好的公式。ctgxzk25.01800(用于直齿)（1）nnnctgxzk25.01800（用于斜齿）（1）然而今天多家手册（如《机修手册》，上世纪90年代由徐灏任主编的《机械设计手册》等等）大都不约而同地选择了它。其实跨齿数计算公式形式多样，五花八门；如将教材、手册上的公式稍加统计一下，找出10个公式是不费什么事的。然而那么多公式供你选择，众家手册为何大都偏偏选择了一个情况不良的公式呢？这个问题是值得思考的。可是当上世纪90年代笔者在一篇文章中提出这个问题时，一家创刊很早的杂志的审稿人的说法是让2人匪夷所思、无法理解的。这里不能多讲，欲知详情，请看拙作《变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择》和《何必在毫无意义的问题上下大功夫呢？——就〈变位齿轮跨齿数计算公式的合理选择〉一文作者对“审稿意见”的评述》两篇文章。言归正传。公式（1）的问题是什么呢？它的问题是：跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良（有的根本无法测量）。在众多公式中，下面的公式是个情况良好的公式，且计算也不麻烦。公式为：5.02coscosa1800xzzrczk（用于直齿）（2）5.02coscosa1800nnxzzrczk（用于斜齿）（2）公式（2）在一般情况下的跨齿数都是合理的。但在角度变位中，有时公法线的测量点靠近齿顶，情况不大好。但这不是公式本身的问题（请看文章后面的论述）。鉴于目前这些公式都很复杂，计算比较麻烦；而且在角度变位中，有时有公法线测量点靠近齿顶的不良情况，因而在上世纪90年代初笔者给出一个跨齿数计算的经验公式（见拙作《变位圆柱齿轮跨测齿数的简便计算》一文，该文已在1991年第9期《机械制造》杂志上发表）。经验公式为：pxzk5.09（用于直齿）（3）npxzk5.09（用于斜齿）（3）z——齿数，斜齿时为z（之值，invinvntntinvinvzz可从手册上查出）。x——变位系数，斜齿时为nx。___p与变位系数正负有关的系数。当变位系数为正（0x）时4.1p；当变位系数为负（0x）时9.1p。鉴于目前手册上的这些公式大都是近似的，有误差的，并非精确的计算公式之情况，笔者近年(2006年)又给出一个理论推导出的精确的计算公式（详见拙作《圆柱齿轮跨测齿数的精确合理计算》一文）。公式为：5.01)cossin2(invzmxmWkk（用于直齿）（4）5.01)cossin2nnnnnnninvzmmxWk（用于斜齿）（4）式中的kW和nW当为高度变位：3直齿时22)2(bkdxmdW；斜齿时bbnnndmxdWcos)2(22。当为角度变位：直齿时221.9xm)(bkddW；斜齿时bbnnndmxdWcos)9.1(22。式中：d——分度圆直径，bd——基圆直径，b——基圆螺旋角。3、对公式(1)、公式（4）合理性的验证前面说过，公式（1）不是个情况良好的公式，它的跨齿数往往偏多，公法线的测量点靠近齿顶，情况不良。公式（4）是精确、合理的公式。那么它们是否如此呢？下面用一个算例对两个公式进行验证。算例一变位直齿轮，0121220)6.0(x5.1)20(z50z5，、，xmmm，分度圆mmd2502，齿顶圆直径mmda2722，全齿高mmh75.9。现用公式（1）和公式（4）分别计算跨齿数，然后验证跨齿数的合理性。(1)计算公法线测量点所在圆直径kd22bkkdWd①计算基圆直径bdmmddb92315.23420cos250cos0。②计算公法线长度kWsin2)5.0(cosxmzinvkmWk用公式（1）计算跨齿数，ctgxzk25.01800，将各值代入公式，则68.8205.125.01802050000ctgk，按规定应取k=9。10.13420sin55.122050)5.09(20cos5000invWk。用公式（4）计算跨齿数，5.01)cossin2(zinvmxmWkk，9925.12092315.234)55.19.1250()9.1(2222bkdxmdW。411.85.01)205020cos520sin55.129925.120(000invk。按规定应取k=8，34.11920sin55.122050)5.08(20cos5000invWk。当50.27092315.23410.134922kdk，时。当50.26392315.23434.119822kdk，时。⑵计算齿顶圆直径2ad2722ad（题给）⑶计算公法线测量点至齿顶、齿根的距离as和fs测量点至齿顶的距离2)(kaadds，测量点至齿根的距离afshs，75.9h（题给）当时9k75.02)5.270272(as，975.075.9fs00.。当8k时25.42)50.263272(as。50.525.475.9fs由验证结果知，当用公式（1）计算9k时，公法线的测量点至齿顶、齿根的距离为mm00.975.0，测量点至齿顶只有0.75mm了，怎么测量？而用公式（4）计算k=8时，测量点至齿顶、齿跟的距离为mm50.525.4，测量点正在齿高的中点部位，情况甚好。显然用公式（4）算出的跨齿数是合理的。所以从这个随便给出的算例就验证了公式（1）不是个情况良好的公式，而公式（4）情况良好。4、公式（1）公式（2）公式（3）与公式（4）的合理性之比较为了在大些范围说明几个公式的优劣，现多用几个算例进行比较。公式（4）是理论推导出来的公式，毋庸置疑，它是精确合理的。那么只要知道其他几个公式的跨齿数是否与公式（4）相同，也就能说明该公式的优劣了。为节省篇幅，只给出算例，用列表的方式对几个公式进行比较。在高度变位中（就表中的几个算例而言），几个公式的跨齿数都是相同的（见表1）。这说明在高度变位中，这几个公式都是情况比较好的。但公式（1）的k值较大，有时会比其它公式多跨一齿，情况较差些。但在角度变位中，它的跨齿数都是不合理的（见表2），都是多跨1齿。而公式（2）的情况也差些了。虽然它在这几个算例中的跨齿数与公式（4）是相同的，担当变位系数较大时k的计算值较大，故公式（2）有时会比公式（4）多跨1齿。请看表2的“1.83x92、z”这个齿轮：公式（4）的k=13.37，而公式（2）k=13.45，故有时它会比公式（4）多跨1齿，但不会造成严重后果。所以公式（2）还是比较好的公式。而笔者的经验公式（3）不仅与公式（4）的跨齿数完全一样，就是k的计算值也与公5式（4）是比较接近的（不论高度变位，还是角度变位）。所以，经验公式（3）一般来说是个计算简便、情况较好的公式。表1跨齿数计算公式（高度变位时）合理性之比较（0205，m）齿数Z变位系数x跨齿数计算（k）值确定的跨齿数（k）公式（1）公式（2）公式（3）公式（4）公式（1）公式（2）公式（3）公式（4）110.402.422.262.282.282222200.63.773.563.563.59444470-0.57.47.347.337.34777780-0.87.997.837.877.848888100-1.09.869.669.719.6810101010注：公式（1）是众多手册首选的公式，比如《机修手册》、《机械设计手册》等等。公式（3）是笔者给出的经验公式。公式（4）是笔者给出的精确公式。表2跨齿数计算公式（角度变位时）合理性之比较），0205(m齿数Z变位系数x跨齿数计算（k）值确定的跨齿数（k）公式（1）公式（2）公式（3）公式（4）公式（1）公式（2）公式（3）公式（4）180.583.513.303.313.374333420.806.576.376.296.337666501.508.688.168.168.119888651.109.659.409.269.3410999921.8313.9213.4513.2813.3714131313注：公式（1）是大多数手册首选的公式，比如《机修手册》、《机械设计手册》等等。公式（3）是笔者给出的经验公式。公式（4）是笔者给出的精确公式。公式（2）之所以在角度变位有时情况较差并非公式本身有什么不合理，而是由于为了使一对啮合的角度变位齿轮的齿顶与齿底之间仍保留有0.25m的径向间隙而需将齿顶圆削去一部分造成的。也就是说，在齿轮参数、数据相同的情况下，角度变位齿轮的齿顶圆小于高度变位齿轮的齿顶圆。公法线测量点的位置未变，但齿顶圆减小了，所以就显得测量点靠近齿顶了，情况不良。那么为何公式（2）以及其它公式（错误的公式除外）在高度变位时情况良好呢？因为高度变位齿轮的齿顶圆并不减小，而且它的变位系数（变位系数绝6对值的大小，影响跨齿数的多少）也不大（一般︱x∣1），不像角度变位齿轮的正变位系数可以大到x=2.99,手册上的数据）。所以高度变位齿轮公法线的测量点一般不会出现靠近齿顶的情况。这就是公式（2）（其它公式也包括在内）为何在高度变位时情况良好，在角度变位时有时情况较差的根源所在。但笔者的经验公式（3）和精确公式（4）已没有这个问题了，因为笔者给出公式时已将它们的缺陷給避免了。5、推荐笔者的经验公式经大量算例验证，经验公式（3）确定的跨齿数一般都是合理的。从表1、表2看出：经验公式的跨齿数不仅与精确公式（4）相同，就是跨齿数k的计算值也与精确公式(4)是比较接近的。需要说明的是：上世纪80年代末、90年代初笔者给出经验公式时尚不知精确公式为何物，然20年后当笔者给出精确公式（4）时发现：经验公式（3）的计算值竟与精确公式（4）的计算值是比较接近的。这种不期然而然的结果是笔者没有（也不可能）料到的。经验公式（3）的最大可取之处就是计算快：只要知道跨齿数和变位系数两个值，跨齿数立等可取。比如一变位齿轮z=50,x=1.5,用计算器计算只需1