圆的切线中考原题解析

1辅导：圆的切线（一）学习要求：【学习目标】1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．3．会过圆上点画圆的切线．【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．（二）知识要点：1．直线是圆的切线．2．直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA位置关系如何？圆的切线经过的半径.（三）例题展现：问题1：（2012•衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．问题2：(2012•丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABH；(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．2（四）自我体会：1、（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.2、(2012•扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是．3、（2012海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为cm.4、（2012•黄石）如图（4）所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且2AB，1AD，P点在切线CD上移动.当APB的度数最大时，则ABP的度数为（）A.15°B.30°C.60°D.90°5、（2012山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°6、（2012•嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°7、(2012•扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．第6题第4题第5题第1题第2题第3题38、(2012湖北随州，23，10分)如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.9、（2012湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．410、(2012•扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．(1)①直接写出点E的坐标：．②求证：AG＝CH．(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．5问题1：考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质。分析：（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．解答：（1）证明：连接OD．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．点评：本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．问题2：考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。分析：(1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．解答：(1)证明：连接OD，∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，在Rt△OBG中，OG＝＝＝．点评：本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．6（四）自我体会：1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46∘，所以∠PAB=67∘，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90∘-67∘=23∘，【答案】23∘【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.2、考点：切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。专题：计算题。分析：连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．解答：解：连接OA，OB，如图所示：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°点评：此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．3、【答案】1或5。【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。∵OP=3，∴OO1=5。综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5cm。4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．7【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB=1/2，∴∠ABP=30°，∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)5、【解析】解：连接OC，如图所示：∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．故选B【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．6、考点：切线的性质。分析：由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．解答：解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．点评：此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．7、考点：切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD．(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．解答：解：(1)如图：连接OC，∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．8(2)连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴，在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..答案:证明：过AB的中点O作OE⊥CD于E.S梯形ABCD=21(AD+BC)•AB=(AD+BC)•OA=2(21AD•OA+21BC•OB)=2(S⊿OAD+S⊿OBC)由S梯形ABCD=S⊿OBC+S⊿OAD+S⊿OCD∴S⊿OBC+S⊿OAD=S⊿OCD∴21AD•OA+21BC•OA=21CD·OE∴21(AD+BC)·OA=21CD·OE又AD+BC=CD∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线即：CD与⊙O相切…………5分（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4.∴∠COD=900.∴CD=)(10862222cmOCOD…………5分点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形．答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；又∵DE⊥AB∴AD2=AE•AB；9∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm；（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下：∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD；∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）