圆的周长与直径之间的关系

探索与发现——圆的周长与直径之间的关系执教：杨静吉林省长春市东北师范大学附属小学【执教教师简介】【教学内容】新世纪小学数学六年级上册第11-15页【学习目标】1.直观认识圆的周长，知道圆的周长的含义；理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值；理解和掌握求圆的周长的计算公式。2.通过观察、推理、分析、综合、抽象、概括等数学活动，经历探索圆的周长与直径关系的过程，渗透区间逼近的思想、极限的思想；培养学生动手操作能力、合作能力与创新精神。主要成就：获吉林省小学数学教学新秀，吉林省吉林省教学新秀教学观摩活动一等奖教学主要风格：大气、扎实、严谨。本课主要看点：经历探索圆周率的过程，感受数学思想；了解人类探索圆周率的历史，激发学生的情感，在情与思结合的过程中，真正理解圆周率的含义。前期研讨的最大感受：有交流才会有进步，网络是一种很好的教学资源3.通过揭示圆周率的意义及介绍古人对圆周率的研究史料，激发学生的科学探究的热情，增强民族自豪感。【教学准备】教具：多媒体课件，硬纸板圆片2个，圆形物体，绳子，直尺，圆规，计算器。学具：圆片，绳子，直尺，计算器。第一稿教学设计【教学过程】一、谈话引入，揭示圆周长的意义1.圆的周长的意义师：指一指你手中圆的周长，谁能指出黑板上圆的周长？谁愿你能用语言来描述一下什么是圆的周长吗？（围成圆的一周的长叫做圆的周长；围成圆的曲线的长叫做圆的周长。）2.了解学生学习起点，引出用公式计算法求周长【设计意图】先感知哪部分的长度是圆的周长，然后再让学生试图用语言概括圆的周长的定义，符合学生认识的特点，有助于对周长意义的理解。师：用什么办法能得到圆的周长呢？（测量、计算）师：你想怎么计算？（用公式计算周长=直径×圆周率）师：你从哪里知道这个公式的呢？你有什么问题？（π是什么？圆周率又是什么？）【设计意图】一部分学生已经知道圆的周长的计算公式了，一部分学生还一无所知，让两部分学生稍作沟通。教师能够探查到学生的学习起点。二、提出问题，明确圆的周长和什么因素有关系1.画圆活动，体会圆的周长和什么有关系。师：请同学们用圆规在练习本上随便画一个圆，边画边想，哪是圆的周长，再画一个圆，使第二个圆的周长比第一个圆的周长长，你怎么画的？（只要把半径变大就可以了），那如果我要画一个周长更长的圆，怎么画呢？从刚才画图的过程中，你觉得圆的周长可能和什么有关系呢？（圆的大小、直径、半径）师：你怎么知道的？（半径越短圆周长越短，半径越长圆周长越长。直径越短圆周长越短，直径越长圆周长越长。）2.明确研究方向。师：由于圆的直径是半径的2倍，因此我们可以认为圆的周长和直径有关系，这节课我们就共同探索圆的周长和直径的关系。【设计意图】直径并不是周长的一部分，圆的周长怎么会和直径有关系呢?如果老师灌输给学生周长和直径有关，想必有的学生会产生上面的疑问。在学生在画圆的活动中，教师有意识引导学生观察与感受，学生有了亲身经历与体验，就会感受到周长和直径之间有关系。三、用推理的方法推测圆周率的范围1.与长方形、正方形对比，激发学生探究的愿望。师：所有圆的周长都是直径的3.14倍吗？（出示长方形）从图中我们一眼就能看出长方形的周长是长加宽的和的2倍，（出示正方形图）从图中我们一眼就能看出正方形的周长是边长的4倍。那么圆的周长是圆的直径的多少倍能一眼就看出来吗？那么这个倍数是怎么知道的呢？【设计意图】周长和直径之间的倍数关系是很难直接观察到的，圆这个曲线图形与长方形、正方形的不同，导致了学生在观察周长与直径的倍数关系时会产生认知的冲突，而这正是激发学生学习欲望的最好时机。2.小组讨论、用推理法推测圆周率的范围小组活动记录单：先思考下面的问题，然后填空。（1）在正方形内放一个最大的圆。⑴正方形周长和圆的周长比，谁长？⑵正方形的周长是圆的直径的几倍？⑶通过这幅图你一定能断定：圆的周长一定直径的()倍。为什么？（2）在圆内放一个最大的正六边形。⑴正六边形周长和圆的周长比，谁长？⑵正六边形的周长是圆的直径的几倍？⑶通过这幅图你一定能断定：圆的周长一定〉直径的（）倍。为什么？（3）通过上面的思考，再观察下面这幅图。你认为圆的周长是直径的倍数在哪个范围内？（）（）（）3.学生汇报（教师用动态的幻灯片演示上面的过程，并找学生汇报）4.师小结：我们借助了一个圆外的正方形和一个圆内的正六边形，用两面夹击的方法终于看出了周长与直径的倍数在3和4之间。这种两面夹击的办法很好，中央电视台购物街中就用这种方法猜价格。【设计意图】对于正处于从形象思维为主，逐步向抽象思维过渡的小学生来说，推理的方法有点难了，但是这种推理方法中蕴含着一种重要的数学思想：区间逼近的思想。教师怎样降低推理的难度，又不至于是教师牵着学生的思路走呢？解决的办法就是给学生的思维牵个线，用问题引导学生思考，让学生通过小组内的讨论与交流，达成教学目标。四、用测量法计算圆周率1.小组合作，通过测量，计算圆周率。师：圆的周长究竟是直径的3倍多多少？怎么才能知道圆的周长是直径的3点几倍呢？谁有办法？师：粗略说说你想怎么计算？需要什么？（测出周长和直径，用周长除以直径，看看他们之间有什么关系，需要周长是多少，直径是多少，也就是周长和直径的数据）【设计意图】学生自己清楚要解决的问题是什么，就能产生解决问题的想法，也就能调动学生的主动性，直觉制定解决问题的大致方案。师：下面请同学们在小组内来完成这个任务。活动要求：（1）每个人选择一个圆，利用手中的工具，想办法测量它的周长和直径（2）把结果记录下来，用毫米为单位，保留整数。⑶用计算器算出周长除以直径的商。学生汇报：师：用什么方法测量的？测量得到的数据是多少？（绕绳法和滚动法）师小结：虽然这几种方法都是把圆周长这条曲线变成了直线段。都可以概括为化曲为直。【设计意图】在这里，测量不是为了测量而测量，测量是计算圆周率的需要，是得到数据的一种方法。师：我们用先测量然后计算的方法，算出了这些大小不同的圆的周长和直径之间的倍数关系，观察这些数据你发现了什么？（都是3倍多一些）师：你有什么疑问吗？（都是3倍多一些，但只有极个别人得到了3.14）师：应该是每个人的周长除以直径的商都是3.14呀，奇怪，我们没有得到3.14这个数据，甚至连一个固定的数也没有得到，同学们，是什么原因导致我们得不出这个统一的数呢？（测量的时候存在误差，也可能圆的周长和直径之间的倍数不是一个固定的数）师：有没有同学怀疑圆的周长和直径之间的关系不是一个固定的数呢？请产生这种疑问的同学举手。【设计意图】在学习这一课以前，学生对圆周率的理解应该是通过接受学习的途径得来的，学生只知道结果，不关心过程。唯书本至上，唯名人至上，不知不觉占据了学生的思维，他们也许从来没有怀疑过圆周率，测量得到的数据不统一能够给学生的思想稍微带来一点疑惑，为什么没得到3.14呢？教师引导学生分析、找原因，也要引导学生敢于质疑。五、介绍圆周率的历史1.了解刘徽的割圆术，渗透极限的思想。⑴了解割圆术的基本过程师：古人自然也产生了这种疑问，为了弄清圆的周长和直径之间的关系到底是不是一个固定的数，如果是一个固定的数，这个数究竟是3点几，人们进行了漫长的研究，你知道这个研究进行了多少年吗？（几千年，从古至今，从未停歇）你们想了解人们研究周长和直径之间关系的历程吗？（放映幻灯片圆周率的历史，《周髀算经》中“周三径一”的记载，阿基米德的成就，刘徽的割圆术，祖冲之的贡献，现在计算机研究的状况。）（课件出示刘徽作出圆内接正六边形和正十二边形）师：他会继续在圆内画正多边形吗？接下来会画正几边形呢？（24、96、128）【设计意图】教师用课件演示给学生看圆内接正六边形，圆内接正十二边形，到圆内接正二十四边形时，就和圆的四周贴合很紧了，利用视觉的刺激，激发学生发现问题，发现正多边形边数越多，就越接近圆的周长。⑵体会极限思想师：猜一猜，刘徽怎么得到圆的周长和直径之间的倍数关系的？你是怎么想到的？（随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，它的周长也越来越接近圆的周长）课件出示《周髀算经》“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”师：这句话是什么意思？你想到了什么？（一直这样分下去，正多边形的周长就更接近圆的周长。此时这个正多边形的周长仍然只是圆的周长的近似数。但是可以用计算的方法来代替操作测量了，这种方法所能达到的精确程度是操作测量永远无法达到的，但割的正多边形的边数越多，求出圆的周长和直径的商就越精确。）【设计意图】教师让学生猜测刘徽是怎么得到割圆术的目的在于让学生了解割圆术的优点之一是能够避免误差。根据前面的了解，教师引导学生提出大胆的猜测，刘徽是怎么得到圆的周长是直径的多少倍的。学生可能会认为刘徽量出正多边形的一条边的长度，再乘边数，算出周长，用正多边形的周长除以直径，就得到了这个倍数，实际上这种想法是不对的，刘徽是利用面积推导出圆周率的，在这里画图只起到提示作用，所以才能够避免误差，测量的方法是不能够得到如此精确的数的。此外，引用《周髀算经》中的原文能够帮助学生在分析与品味中感受极限思想。2.介绍祖冲之的贡献。（课件播放祖冲之的贡献）师：看到这里，你有没有什么问题。师：祖冲之算出了圆的周长是直径的多少倍了吗？到祖冲之时，人类已经研究圆的周长和直径之间的倍数关系有多少年了呢？【设计意图】祖冲之的贡献能激发学生的民族自豪感。3.从时间的角度纵观人类探究圆周率的历程师：下面我们从时间的角度再来回顾一下人类研究这个猜想的历程吧。课件出示：圆的周长是直径的多少倍呢？我国的《周髀算经》说：三倍多一些吧公元前3世纪，古希腊的阿基米德说：3.14倍多一些吧。又过了600年，中国的刘徽说：“3.1416倍多一些吧”又过了200年，中国的祖冲之说：“3.1415926”倍多一些吧又过了几百年，很多科学家研究了圆的周长和直径之间的倍数关系（中间象电影胶片一样闪过无数人的头像）公元2000年，终于有人说：我可以告诉你，。。。。。。。。它计算到了小数点后第12411亿位，这个数有多少呢？如果你一秒钟读一个数的话，大约需要读4万年。还没有算完，人类花了几千年的时间，有人甚至付出了毕生的努力，终于达成了这样一个共识，无论是大圆还是小圆，任意一个圆，它的周长除以直径的商都是一个固定的数，我们现在就把圆的周长除以直径的商叫做圆周率，用希腊字母派表示，我们来读一读，这个圆周率有两大让人不可思议，这个数是固定的，但却是无限的，永远也数不完，而且还不循环，没有规律。【设计意图】让学生从时间的角度感受人类探究历史的漫长，探究过程的艰难，圆周率的小数点每前进一位，都要付出几代人的努力，敬佩人类对真理孜孜不倦的追求。同时，学生在前30多分钟已经积累了对周长和直径的倍数的很多感想，经过教师不断地刺激，在这里向学生介绍圆周率的定义，圆周率的特点，学生会有一种认同感，他已经能把教师的传授的语言同他的感触联系在一起，根据建构主义教学的观点，学生已经能自主地把圆周率这个词纳入到自己的知识体系中了，和教师的理解相差不多了。师：谁愿意说说你对圆周率这个数的感受？4．圆周率的计算对人类科学的推动作用。师：现在我们知道圆周率是一个固定的数，是一个无限不循环小数，研究圆周率究竟有什么价值呢？（用л的值不仅可以计算圆的周长，促进数学不断发展，还可以测试或检验计算机的性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性。培养人的记忆力，做事严谨、认真的态度，还可以衡量一个国家的数学水平。在研究过程中产生了很多新的数学思想，促进人们不断探索。）【设计意图】让学生简单了解研究圆周率这件枯燥的工作，其实有很多实际意义。六、学生自主建构圆的周长计算公式师：本节课你有什么收获？师：如果已知直径怎样求圆的周长？如果已知半径，怎样求圆的周长？要求圆的周长，需要知道哪些条件？【设计意图】前面的难点已经突破了，建构圆的周长公式就是水到渠成的事了。【网络研讨与评论】问题1：是否应安排基本练习、巩固训练和提高训练？网友的主要评论及建议：1.缩短前面研究的过程，只介绍测量法研究圆周率，然后介绍圆的周长公式，最后出现练习题，呈现一个完整的《圆的周