圆的方程教案

圆的方程一、知识点1、圆的标准方程2、圆的一般方程3、圆的参数方程4、根据恰当的条件写出圆的方程5、由圆的方程写出圆的半径和圆心6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系二、能力点1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程2、能根据恰当的条件写出圆的方程3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力三、学法指导1、求圆的方程可大致分为五种不同情形①给出圆的半径，隐含给出圆的圆心②给出圆的圆心，隐含给出圆的半径③给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线④给定圆上三点⑤给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程2、直线与圆的位置关系的判断⑴方程观点：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0时，直线与圆相交；Δ＝0时，直线与圆相切；Δ＜0时，直线与圆相离。⑵几何法(算出圆心到直线的距离d，然后比较d与半径R的关系)：当d＜R时直线与圆相交；d＝R时直线与圆相切；d＞R时直线与圆相离。3、两圆的位置关系用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d，两圆的半径分别为R1、R2，则：①d＞R1＋R2时两圆相离；②d＝R1＋R2时两圆外切；③d＜|R1－R2|时两圆内切；④R1－R2＜d＜R1＋R2时两圆相交；⑤d＜R1－R2两圆内含。4、圆的参数方程是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。四、重点与难点1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究第一课时圆的标准方程●教学目标1．掌握圆的标准方程的形式特点；2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径.●教学重点圆的标准方程●教学难点根据条件建立圆的标准方程●教学方法学导式●教学过程设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.1．圆的标准方程：(x―a)2＋(y―b)2＝r2其中圆心坐标为（a,b），半径为r推导：如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合}.||{rMCMP由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为rbyax22)()(把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2当圆心在原点，这时圆的方程是：x2＋y2＝r2小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。课堂练习：写出下列各圆的方程⑴圆心在原点，半径是3；⑵圆心在点C(3,4)，半径是5；⑶圆心在点C(8,－3),经过点P(5,1)。2、说出下列圆的圆心、半径⑴(x－2)2＋(y＋3)2＝25⑵(x＋2)2＋(y－1)2＝36⑶x2＋y2＝43、判断下列各点与圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4的位置关系：①A(1,1)；②B(0,1)；③C(3,1)。小结：点P(x0,y0)与(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系是(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2等价于点P在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2等价于点P在圆外；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2等价于点P在圆内。2．例题讲解：例1求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程.回忆初中直线与圆的位置关系：①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得516)4(37341322r因此，所求的圆的方程是.25256)3()1(22yx说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识例2已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程.解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是11kk00001,yxkxyk.经过点M的切线方程是：)(0000xxyxyy整理得：202000yxyyxx因为点M（x0，,y0）在圆上，所以22020ryx所求切线方程为：200ryyxx当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.猜测：已知圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，则经过圆上一点M（x0，y0）的切线的方程是(x－a)(x0－a)+(y－b)(y0－b)=r2.说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解例3图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）.解：建立直角坐标系如图7—34所示.圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.222222)0(10)4(0rbrb解得b=－10.5,r2=14.52所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P的横坐标x=－2代入圆方程得)m(86.35.10)2(5.1422y答：支柱A2P2的长度约为m86.3.说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.Ⅲ.课堂练习思考题：1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。52．直线3x－4y+17=0被(x－2)2＋(y－2)2＝25所截得的弦长是_____________.8●归纳总结1数学思想：数形结合，2数学方法：解析法，图形法。通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。第二课时圆的一般方程●教学目标1．掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2．掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3．进一步熟悉并掌握待定系数法.●教学重点圆的一般方程应用●教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程⑴圆心在直线y＝－x上，且过两点(2,0),(0,－4)；⑵圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点(2，－1)；⑶圆心在直线5x－3y＝8上，且与坐标轴相切。⑴(x－3)2＋(y＋3)2＝10；⑵(x－1)2＋(y＋2)2＝2；⑶(x－4)2＋(y－4)2＝162、已知圆x2＋y2＝25，求：⑴过点A(4，－3)的切线方程；4x－3y－25＝0⑵过点B(－5，2)的切线方程。21x－20y＋145＝0或x＝－52、圆的标准方程及其应用回顾：(x―a)2＋(y―b)2＝r2其中圆心坐标为（a,b），半径为r变形圆的标准方程x2＋y2―2ax―2by＋a2＋b2－r2＝0由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0①反过来，我们研究形如①的方程的曲线是不是圆。将①的左边配方，整理得44)2()2(2222FEDEyDx②⑴当D2+E2－4F＞0时，比较方程②和圆的标准方程，可以看出方程①表示以(―D/2,―E/2)为圆心，半径为FED42122的圆；⑵当D2+E2－4F＝0时，方程①只有实数解x＝―D/2,y＝―E/2，所以表示一个点(―D/2,―E/2)；⑶当D2+E2－4F＜0时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形。二、解决问题1、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2－4F＞0)，其中圆心(―D/2,―E/2)，半径为FED42122。2、二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数比较，（1）x2和y2的系数相同，且不等于0，即A=C≠0；（2）没有xy项，即B=0；（3）D2+E2－4AF＞0.练习：1、下列方程各表示什么图形？⑴x2+y2=0⑵x2+y2－2x+4y－6=0⑶x2+y2+2ax－b2=02、求下列各圆的圆心与半径⑴x2+y2－6y=0⑵x2+y2+2by=0⑶x2+y2－4x+6y－12=0三、反思应用例1求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得02024020FEDFEDF解得068FED于是所求圆方程为：x2+y2－8x+6y=0化成标准方程为：（x－4）2+[y－(－3)]2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，－3）说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.例2已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.}.21|||||{AMOMMP由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为21)3(2222yxyx，①将①式两边平方，得41)3(2222yxyx化简得x2+y2+2x－3=0②化为标准形式得：(x+1)2+y2=4所以方程②表示的曲线是以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7—35所示.例3求过原点及点A(1,1)且在x轴上截得的线段长为3的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则又圆被x轴上截得的线段长为3，即|D|＝3∴D＝±3，当D＝3时，E＝－5，F＝0；当D＝－3时，E＝1，F＝0故所求的圆的方程为：x2+y2+3x－5y=0或x2+y2－3x＋y=0●课堂小结圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.第三课时圆的方程教学目标⑴进一步掌握圆的标准方程与一般方程⑵能根据条件选择适当的形式求出圆的方程⑶进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力，培养学生对数学知识的理解能力、运用能力、判断能力。教学过程知识掌握A组：1、点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为（）A、9B、8C、5D、22、由点M(－1,4)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝1所引的切线的长是（）A、35.B10.CD、53、过点M(2,3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是___________________.4、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点M(a,b)与圆的位置关系是____________.5、求与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上且截直线y＝x所得弦长为72的圆的方程。答案：1、D；2、A；3、x＝2和5x－12y＋20＝