圆的证明与计算(一)教案

专题学习：圆的证明与计算（一）教学目标：进一步掌握圆的一些重要定理，熟悉圆的一些基本图形，灵活运用所学知识解决圆中的有关证明与计算问题，提高学生的解题能力。教学重点：熟悉基本图形，运用所学知识解决圆中的证明与计算问题。教学难点：解决此类问题的方法及常用辅助线的引出。教学过程;一知识归纳1.圆的定义:主要是用来证明四点共圆.2.圆中的重要定理:(1)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(2)三者之间的关系定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(3)圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(4)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(5)切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线.(6)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.3.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是与圆有关的证明，①切线的证明；②有关线段关系的证明；③有关角的关系的证明；④有关图形形状的判断等。第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。三方法指导1．切线的证明方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。四基本图形图形1：已知，AB是⊙O的直径，C是中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：（1）CD=21BG；BE=EF=CE；GF=2DE(反之，由CD=21BG或BE=EF可得：C是中点)（2）OE=21AF，OE∥AC；（3）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②BC=CG=GA图形2：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：（1）如图1，①BD=CD=ID；②∠AIB=90°+21∠ACB;（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.HOGFEDCBABG图1EOIDCBAABCDIOE图2图形3：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有：如图1：①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）图形4：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：CK=CD；BK=DE；CK=21BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD于G时（如图5），则：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；图形5：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：（1）如图1，在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）如图2①G是⊿BCD的内心；②；图形6：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：如图1：（1）DE切⊙OE是BC的中点；（2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A图形特殊化：在（1）的条件下如图2：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；图1OEDCBA图2EGOFDCBA图1EODCBAOEABCD图1OEDCBAF图2ABCDEOF图3ABCDEOK图4ABCDEOG图5ABCDEOCG=GDACDOEBOCFEDBAOFEDCBA图形7：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，基本结论有：（1）DE⊥ACDE切⊙O；（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是的中点。④与基本图形1的结论重合。⑤连AD，产生母子三角形。五典型例题例1.如图，ABC△内接于⊙O，60BAC，点D是弧BC的中点．BCAB，边上的高AECF，相交于点H．试证明：（1）FAHCAO；（2）四边形AHDO是菱形．例2.△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M,MC的延长线交BP于D.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求AFEF的值。例3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.（1）求证：DE=DF；（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求S△ACE的值.例4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.（1）求证：⊙O与AC相切；（2）若EF=3，BC=4，求CF的长.图1FEDCBOABF图2OCDBFAHE例5.直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.⑴求证：CD为⊙O的切线⑵若53ABBE，求BECE的值例6.如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。（1）求证：AC与⊙O相切；（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长例7.如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长五课堂小结1.强调切线的证明方法；2.关于计算线段的长度，在没有学相似之前主要是设法构造直角三角形运用勾股定理建立方程求解，还可由全等证明未知线段与已知线段之间的关系求解；3.求线段的比可以先分别求出两条线段的长得比，或分别用一个待定系数来表示出这两条线段得比。4.圆中常用辅助线的作法：作半径、直径、弦心距、直径所对的圆周角、垂线、平行线，如果有两圆相交时作公共弦，有两圆相切时作公切线等。FOECDBAOFHEDCBAOFEDCBA