圆锥曲线与方程知识点复习及例题

第二章圆锥曲线与方程§2.1椭圆知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.（2）.椭圆的标准方程：12222byax12222bxay（a＞b＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2、椭圆的简单几何性质（a＞b＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程12222byax,线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，(2).离心率：ace221ba0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：exaMF1，exaMF2.2a=2b+2c(4).椭圆的的内外部点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab(5).焦点三角形21FPF经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF、2PF、2c，有关角21PFF结合起来，建立12PFPF、12PFPF等关系．§2.1.1椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的定义应用例1题型二椭圆标准方程的求法例2已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程§2.1.2椭圆的简单的几何性质典例剖析题型一求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．例1已知椭圆22(3)(0)xmymm的离心率32e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．例2设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A．22B．212C．22D．21例3已知椭圆C的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2xy交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．§2.2双曲线知识梳理1、双曲线及其标准方程（1）双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|1F2F|，则无轨迹.若1MF＜2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.（2）.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.2、双曲线的简单几何性质（1）.双曲线12222byax实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace221ba离心率e越大，开口越大.（2）.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中k是一个不为零的常数.（3）焦半径公式21|()|aPFexc，22|()|aPFexc.（4）双曲线的方程与渐近线方程的关系①若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby；②若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax；③若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.④双曲线22221(,0)xyabab焦点三角形面积：12FPFS2cot2b，高h2cot2bc。§2.2.1双曲线的定义与标准方程典例剖析题型一双曲线标准方程的判断题型二求双曲线标准方程例2已知双曲线过(1,1),(2,5)MN两点，求双曲线的标准方程例3§2.2.2双曲线的简单的几何性质典例剖析题型一双曲线的性质例1已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.题型二有共同渐近线的双曲线方程的求法例2求与双曲线22193xy有共同的渐近线，并且经过点(3,4)的双曲线方程．例3设双曲线2212yx上两点A、B，AB中点M（1，2）,求直线AB方程；例4k代表实数，讨论方程22280kxy所表示的曲线.题型三直线与双曲线的位置关系例已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2－2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.§2.3抛物线知识梳理1．抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．方程022ppxy叫做抛物线的标准方程．注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；2．抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形oFxyloxyFlxyoFl焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离．§2.3.1抛物线及其标准方程题型一求抛物线的标准方程例1已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（—3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值.§2.3.2抛物线的简单的几何性质题型一焦点弦问题例斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.题型二直线与抛物线的位置关系例焦点在y轴上的抛物线被直线x—2y—1=0截得的弦长为15，求这抛物线的标准方程.