圆锥曲线的基础训练题

圆锥曲线典型例题一．求标准方程1．讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．2．求适合条件的椭圆的标准方程:（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点62，；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．3．根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，(4)过点)2,3(P，离心率25e．（5）1F、2F是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS，离心率为2．（6）双曲线的渐近线方程为023yx，两条准线间的距离为131316。4．（1）求与双曲线191622yx共渐近线且过332，A点的双曲线方程及离心率．（2）求以曲线0104222xyx和222xy的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．（3）中心在原点，一个焦点为01，F的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程．二．求离心率说明：求离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．1．一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．2．已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．3．已知双曲线的渐近线方程是043yx，043yx，求双曲线的离心率．4．设双曲线12222byax)0(ba的半焦距为c，直线l过)0,(a、),0(b两点，且原点到直线l的距离为c43，求双曲线的离心率．三．求值问题1．已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF．2．已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．3．若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是．4．过抛物线022ppxy的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求AB。5．过抛物线022ppxy的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求BFAF11的值。四．轨迹问题1．求下列动圆圆心M的轨迹方程并说明它是什么样的曲线：（1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切．（3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切．2．在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹．3．双曲线2219xy有动点P，12,FF是两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。五．第二定义的应用1．已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离．2．椭圆192522yx上不同三点11yxA，，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列．（1）求证821xx；2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．3．已知11yxM，是双曲线12222byax上一点．求点M到双曲线两焦点1F、2F的距离．4．在双曲线1131222xy的一支上有三个点),(11yxA、)6,(2xB、),(33yxC与焦点)5,0(F的距离成等差．(1)求31yy(2)求证线段AC的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．六．弦长、中点弦、弦斜率问题说明：（1）直线与曲线的问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．（2）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（3）“点差法”解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（4）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．1．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．2．已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．3．过抛物线xy42的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？4．已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点'A和A关于直线xy对称，设直线l过点A，斜率为k．(1)求双曲线S的方程；(2)当1k时，在双曲线S的上支求点B，使其与直线l的距离为2；(3)当10k时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及点B的坐标．七．最值问题1．设AB是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为Fc10()，，则△F1AB的面积最大为2．已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且||||PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是3．已知0,4,2,3BA，P是椭圆xy222591上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为4．椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．5．求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值．6．已知点03，A，02，F，在双曲线1322yx上求一点P，使PFPA21的值最小．7．给定抛物线xy22，设00,aaA，P是抛物线上的一点，且dPA，试求的最小值。8．已知直线42:xyl交抛物线xy42于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。9．已知点yx,在抛物线xy42上，则32122yxz的最小值是．九．综合型问题1．已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如果抛物线12axy上总有关于直线0yx对称的相异两点，试求的范围。3．已知梯形ABCD中，CDAB2，点E满足ECAE，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当4332时，求双曲线离心率的取值范围．4．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东6千米，C在B正北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此s4后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1skm，A若炮击P地，求炮击的方位角．6．设抛物线的焦点为F，经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。