圆锥曲线知知识总结及典型题型

高天宇专用-1-圆锥曲线知知识总结及典型题型1.圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点21,FF的距离的和等于常数a2，且此常数a2一定要大于||21FF，当常数等于||21FF时，轨迹是线段21FF，当常数小于||21FF时，无轨迹；双曲线中，与两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数a2，且此常数a2一定要小于||21FF，定义中的“绝对值”与a2＜||21FF不可忽视。若a2＝||21FF，则轨迹是以21FF为端点的两条射线，若a2﹥||21FF，则轨迹不存在。若a2=0，则轨迹是线段21FF的中垂线；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（）A．B．C．D．（答：C）；②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）3.（2008北京，理4）若点P到直线1x的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：高天宇专用-2-（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：①已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）；②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在轴上：=1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）；②设中心在坐标原点，焦点21,FF在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：）（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。高天宇专用-3-如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答：（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。焦点到原点的距离等于一次项系数的四分之一；4.圆锥曲线的几何性质：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形高天宇专用-4-方程标准方程12222byax(ba0)12222byax(a0,b0)pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t为参数)范围─axa，─byb|x|a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0))0,2(pF准线x=±ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=±ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c（c=22ba）2c（c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1高天宇专用-5-①双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；②双曲线的离心率为，则=（答：4或）；③设双曲线（a0,b0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：）；（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内高天宇专用-6-6．直线与圆锥曲线的位置关系：（代数法）联立Cl消元得02cbxax（或02cbyay）当0a，o直线与曲线相交（2个交点）；o直线与曲线相切（1个交点）；o直线与曲线相离（0个交点）；当0a，①曲线定不是椭圆；②若曲线是双曲线，则直线l与渐近线平行（1个交点）或重合（0个交点）；③若曲线是抛物线。则直线l与抛物线的对称轴平行或重合（1个交点）；比如：①直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；②对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；特别提醒：直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。1，双曲线①过双曲线内一点的直线只有一个公共点的直线有2条（2与渐近线平行）②过双曲线上一点的直线只有一个公共点的直线有3条（1切线+2与渐近线平行）③过双曲线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有4条（2切线+2与渐近线平行）若点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；若在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；注意：①点在两条渐近线上但非原点，只有两条（1切线+2与另一渐近线平行）；②P为原点时不存在这样的直线；2，抛物线①过抛物线内一点的直线只有一个公共点的直线有1条（与对称轴平行）高天宇专用-7-②过抛物线上一点的直线只有一个公共点的直线有1条（1切线+1与对称轴平行）③过抛物线外一点（除渐近线上点）的直线与双曲线只有一个公共点的直线有3条（2切线+1与对称轴平行）比如：①过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；②过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：）；③若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(-,-1)）；④过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有____条（答：3）；⑤过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______（答：1）；⑥设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于)（答：等于）；⑦求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；高天宇专用-8-⑧直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①；②）；10、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。比如：①过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；②过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。比如：①如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：）；高天宇专用-9-②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；③试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线的渐近线方程为；（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。1.（2014北京，理11）设双曲线C经过点2,2，且与2214yx具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________.【答案】221312xy；2yx（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆),0,0(nmnm；双曲线方程可设为（0mn）；高天宇专用-10-（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立之间的关系；如已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；高天宇专用-11-如(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为（答：）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：）；(3)一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：）；⑤参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；（2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：）；高天宇专用-12-（3）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答：）；注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（1）设为点P的横坐标，证明；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在