圆锥曲线第三讲抛物线

---用心专心恒心---第1页-圆锥曲线第三讲——抛物线一、基础练习：1.已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为.2.设A、B为抛物线pxy22上的点,且90AOB(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.3.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于)(422Raaa，则这样的直线有条.4．已知抛物线y＝14x2，则过其焦点垂直于其对称轴的直线方程为________．5．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2，2)，则|AB|等于________．6．(2009年高考宁夏、海南卷)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.8．(原创题)已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．9．抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2，y10，y20)在抛物线上，且存在实数λ，使AF→＋λBF→＝0，|AB→|＝254.(1)求直线AB的方程；(2)求△AOB的外接圆的方程．二、知识梳理：---用心专心恒心---第2页-1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p)：标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.③AB为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx42p，BAyy2p，||AB=pxxBA3.pxy22的参数方程为ptyptx222（t为参数），pyx22的参数方程为222ptyptx（t为参数）.★重难点突破★重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点:与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质三、互动展示1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线240xy上---用心专心恒心---第3页-2、过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程.3、(汕头市金山中学2009届11月月考)在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的坐标.4、（广东省六校2010届高三第三次联考）已知抛物线2:axyC（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l．（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？5、（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）椭圆12222byax上有一点M（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.---用心专心恒心---第4页-（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.四、随堂检测及反馈1．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_____．2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为__________．3．(2010年苏州调研)已知抛物线C的方程为x2＝12y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是________．4．已知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点为F，准线l与对称轴交于R点，过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ⊥l于Q，则抛物线的焦点坐标是________；梯形PQRF的面积是________．5．(2009年高考福建卷)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝______.6．在平面直角坐标系xOy中有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．7．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝________.8．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________米．9．已知P是抛物线y2＝2x上的一个动点，过点P作圆(x－3)2＋y2＝1的切---用心专心恒心---第5页-线，切点分别为M、N，则|MN|的最小值是________．10．已知F1、F2分别是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自点F1引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设F1P→＝λF1Q→.(1)求曲线C的方程；(2)证明：F2M→＝－λF2Q→.11．已知抛物线x2＝4y及定点P(0,8)，A、B是抛物线上的两动点，且AP→＝λPB→(λ0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：点M的纵坐标为定值；(2)是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP＝∠BQP？证明你的结论．12．(2009年高考浙江卷)已知抛物线C：x2＝2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为174.(1)求p与m的值；(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值．一、基础练习答案：1、[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PRPQPFPQ，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PRPQ取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3.---用心专心恒心---第6页-2、【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置［解析］设直线OA方程为kxy,由pxykxy22解出A点坐标为)2,2(2kpkppxyxky212解出B点坐标为)2,2(2pkpk，直线AB方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线AB必过的定点)0,2(p.3、[解析]44)1(52||22aaapxxABBA，而通径的长为4,故1条或2条.（p=1,直线有两条！）4、解析：抛物线的焦点是(0,1)，且对称轴为x＝0，故所求直线方程为y＝1.答案：y＝15、解析：设A(x1，x124)，B(x2，x224)，由已知得x1＋x2＝4，x124＋x224＝4，⇒x1＝0，x2＝4，即A(0,0)，B(4,4)，故|AB|＝42.答案：426、解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y12＝ax1，①y22＝ax2，②∴①－②得y12－y22＝a(x1－x2)，∴(y1＋y2)·y1－y2x1－x2＝a，∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.7、解析：如图，过点N向准线引垂线，垂足为P，由抛物线的定义知|NF|＝|NP|，又|NF|＝32·|MN|，即|NP|＝32|MN|，所以在Rt△NMP中，sin∠NMP＝|NP||NM|＝32，即∠NMP＝π3，故∠NMF＝π6.答案：π68、解析：据抛物线的定义可知d1等于点P到焦点的距离，故求d1＋d2的最小值即为确定抛物线上的点到焦点的距离与到直线的距离之和最小，又抛物线与已知直线无交点，易知当且仅当点P为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时，d1＋d2有最小值，故(d1＋d2)min＝125.答案：1259、解：(1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，F(1,0)．∵AF→＋λBF→＝0，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得|AB→|＝x1＋x2＋2.由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，---用心专心恒心---第7页-设直线AB：y＝k(x－1)，而k＝y1－y2x1－x2，x1x2，y10，y20，∴k0.由y＝k(x－1)，y2＝4x，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0.∴x1＋x2＝2(k2＋2)k2，x1x2＝1，|AB→|＝x1＋x2＋2＝2(k2＋2)k2＋2＝254，∴k2＝169.从而k＝43，故直线AB的方程为y＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.(2)由4x－3y－4＝0，y2＝4x，求得A(4,4)，B(14，－1)．设△AOB的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋H＝0，则H＝0，16＋16＋4D＋4E＋H＝0，116＋1＋14D＋(－E)＋H＝0，解得D＝－294，E＝－34，H＝0.故△AOB的外接圆的方程为x2＋y2－294x－34y＝0.三、互动展示答案1、【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析](1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpyp,∵过点(-3,2)∴229)3(24pp或∴2934pp或∴抛物线方程为243yx或292xy,前者的准线方程是1,3x后者的准线方程为98y(2)令0x得2y，令0y得4x，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p,---用心专心恒心---第8页-∴8p，此时抛物线方程216yx;焦点为(0,-2)时22p∴4p，此时抛物线方程28xy.∴所求抛物线方程为216yx或28xy,对应的准线方程分别是4,2xy.2、3、[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2xxP，点P到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121解法2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21,1xb，故所求的点为），（1214、解：（1）抛物线方程为yax12故焦点F的坐标为)41,0(a（2）设20000),(axyyxP则2,2'0axkPaxy）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l的方程是)(20020xxaxaxy02200axyxax－即【解析】点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点B到准线的距离为|BF|，则|BF||BC|＝12，∴l与准线的夹角为30°，则直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3得cos60°＝3－p3，故p＝32.∴抛物线方程为y2＝3x.---用心专心恒心---第9页-.411441)1()2(41020222020axaaaxaxad)0,0(00的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当Px.LF0,0)(P的距离最小到切线处时，焦点在当5、解：（1）∵12222byax上的点M在抛物线pxy22