圆锥曲线综合试题

1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22xpy外一点00(,)Pxy的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为Q。（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()xxpyy＋；（2）求证：112||||PCPDPQ.2.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且.||||,0PNPMPFPM（1）动点N的轨迹方程；（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若304||64,4ABOBOA且，求直线l的斜率k的取值范围.3.如图，椭圆134:221yxC的左右顶点分别为A、B，P为双曲线134:222yxC右支上（x轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件||||22PMPN.记动点P的轨迹为W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若,AB是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.5.已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。6.如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN(1)求点P的轨迹方程；(2)若2·1cosPMPNMPN＝,求点P的坐标.7.已知F为椭圆22221xyab(0)ab的右焦点，直线l过点F且与双曲线1222byax的两条渐进线12,ll分别交于点,MN，与椭圆交于点,AB.（I）若3MON，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。（II）若0OMMN（O为坐标原点），13FAAN，求椭圆的离心率e。8.设曲线2212:1xCya（a为正常数）与22:2()Cyxm在x轴上方只有一个公共点P。（Ⅰ）求实数m的取值范围（用a表示）；（Ⅱ）O为原点，若1C与x轴的负半轴交于点A，当102a时，试求OAP的面积的最大值（用a表示）。1.（1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为200()2()xxpyy，点Q，C，D的坐标分别为331122()()()xyxyxy，，，，，，点(0,0)P，直线ykx，200()2()xxpkxy220002()20xxpkxxpy一方面。要证112||||PCPDPQ化斜为直后只须证：123112xxx由于0012212122()112xpkxxxxxxxpk另一方面，由于(0,0)P所以切点弦方程为：000()(2)xxxpyy所以3x0202xpkxpk002312xpkxxpk从而123112xxx即112||||PCPDPQ2.（1）设动点N的坐标为（x,y），则),2,(),0)(2,0(),0,(yxPMxyPxM…………………2分040),2,1(2yxPFPMyPF得由，因此，动点的轨迹方程为).0(42xxy……4分（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，则由6424||,22,22,421AByyOBOA得，不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由4,42121yyxxOBOA得…6分由点A，B在抛物线.8,4,4,)0(4212221212yyxyxyxxy故有上又y2=4x,y=kx+b得ky2－4y+4b=0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222kkkABkkbkb……10分因为.480)3216(196,304||64222kkkAB所以解得直线l的斜率的取值范围是xyO]1,21[]21,1[.………………………………………………………………12分3.由题意得C为AP中点，设)0,2(),,(00AyxC，),2,22(00yxP把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得,124)22(3124320202020yxyx解之得：)0,2(),3,4(),23,1(,23100BPCyx又故故直线PD的斜率为232403，直线PD的方程为),2(23xy联立)23,1(134)2(2322Dyxxy解得，故直线CD的倾斜角为90°4.解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=22知动点P的轨迹是以,MN为焦点的双曲线的右支，实半轴长2a又半焦距c=2，故虚半轴长222bca所以W的方程为22122xy,2x（Ⅱ）设A，B的坐标分别为11(,)xy,22(,)xy当AB⊥x轴时,12,xx从而12,yy从而221212112.OAOBxxyyxy当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为ykxm,与W的方程联立,消去y得222(1)220.kxkmxm故1222,1kmxxk21222,1mxxk所以1212OAOBxxyy1212()()xxkxmkxm221212(1)()kxxkmxxm2222222(1)(2)211kmkmmkk22221kk2421k.又因为120xx,所以210k,从而2.OAOB综上,当AB⊥x轴时,OAOB取得最小值2.解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设A，B的坐标分别为，则11(,)xy,22(,)xy,则22()()2(1,2).iiiiiixyxyxyi令,,iiiiiisxytxy则2,iist且0,0(1,2)iisti所以1212OAOBxxyy1122112211()()()()44stststst12121212112,22ssttsstt当且仅当1212sstt,即1212,xxyy时””成立.所以OAOB的最小值是2.5.(1)当k=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为kkkkkkkkkkykkx411,04101:,141122且为椭圆的充要条件是即是0k2或2k44,k0k1-1,0411:)2(或或即为双曲线的充要条件是kkkkk,6,41,1,x,4k122kkkbkkak得轴上双曲线焦点在时或当.,6,41,1,y,0k1-22不符得轴上双曲线焦点在时当kkkakkb12767:22yx综上得双曲线方程为（Ⅲ）若存在，设直线PQ的方程为：y=-x+m07244:7262222mmxxyyxmxy得消去211223,,232),,(,00mmmLMmymxyxMQPoo上在直线则的上点是设方程（2）的△0，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为21xy6.(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy(2)由2,1cosPMPNMPN得cos2.PMPNMPNPMPN①因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，4,MN由余弦定理有2222cos.MNPMPNPMPNMPN②将①代入②，得22242(2).PMPNPMPN故点P在以M、N为焦点，实轴长为23的双曲线2213xy上.由(1)知，点P的坐标又满足22195xy，所以由方程组22225945,33.xyxy解得33,25.2xy即P点坐标为335335335335(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.7.解：（I）3MON，NM,是直线l与双曲线两条渐近线的交点，336tanab，即ba3………………2分双曲线的焦距为4，422ba……………………4分解得，1,322ba椭圆方程为1322yx…………5分（II）解：设椭圆的焦距为c2，则点F的坐标为)0,(c0ONOM，1ll直线1l的斜率为ab，直线l的斜率为ba，直线l的方程为)(cxbay…………………………………………7分由xabyaxbay)(解得cabycax2即点),(2cabcaN设),,(yxA由ANFA31，得),(31,2ycabxcaycx即)(31)(312ycabyxcacxcabycacx44322)4,43(22cabcacA……10分。点A在椭圆上，11616)3(2222222cacaac………………………………12分22422216)3(caaac，222161)13(ee0210924ee9752e375e椭圆的离心率是375e。8.（Ⅰ）由222222212(21)02()xyxaxmaayxm，……①设222()2(21)fxxaxma，则问题（Ⅰ）转化为方程①在区间(,)aa上有唯一解：①若2102am，此时2Pxa，当且仅当2aaa，即01a适合；②若()()0fafa，则ama；③若()0fama，此时22Pxaa，当且仅当22aaaa，即01a时适合；若()0fama，此时22Pxaa，但22aaa，从而ma。综上所述，当01a时，212am或ama；当1a时，ama。（Ⅱ）OAP的面积是12PSay。因为102a，所以有两种情形：①当ama时，22021aaama，由唯一性得2221Pxaaam。显然，当ma时，Px取得最小值22aa，从而212PPxy取得最大值22aa，所以有2maxSaaa；②当212am时，2Pxa，21Pya，此时2112Saa。因此，有当22112aaaaa，即103a时，2max112Saa；当22112aaaaa，即1132a时，2maxSaaa。