圆锥曲线设而不求法典型试题

圆锥曲线设而不求法典型试题例1,弧ADB为半圆，AB为直径，O为半圆的圆心，且OD垂直于AB，Q为半径OD的中点，已知AB长为4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N，求三角形OMN面积的最大值。例2：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)代人已知双曲线的方程，得x12-y12/2=1①，x22-y22/2=1②②-①，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直线L的方程为y-1=2(x-1)检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式⊿=-8﹤0，此时L与双曲线无交点。综上，不存在满足题意的直线例3,已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（Ⅰ）解由题意，c＝1,可设椭圆方程为2222114xybb。因为A在椭圆上，所以2219114bb，解得2b＝3，2b＝34（舍去）。所以椭圆方程为22143xy．（Ⅱ）证明设直线ＡＥ方程：得3(1)2ykx，代入22143xy得22233+4+4(32)4()1202kxkkxk（）设Ｅ（Ex，Ey），Ｆ（Fx，Fy）．因为点Ａ（1，32）在椭圆上，所以2234()12234Ekxk，32EEykxk。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得2234()12234Fkxk，32FFykxk。所以直线EF的斜率()212FEFEEFFEFEyykxxkkxxxx。即直线EF的斜率为定值，其值为12。4,已知直线220xy经过椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，,ASBS与直线10:3lx分别交于,MN两点（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值；解方法一（1）由已知得，椭圆C的左顶点为(2,0),A上顶点为(0,1),2,1Dab故椭圆C的方程为2214xy（2）直线AS的斜率k显然存在，且0k，故可设直线AS的方程为(2)ykx，从而1016(,)33kM，由22(2)14ykxxy得2222(14)16164kxkxk0，设11(,),Sxy则212164(2),14kxk得2122814kxk，从而12414kyk即222284(,),1414kkSkk又(2,0)B由1(2)4103yxkx得10313xyk101(,)33Nk故161||33kMNk又16116180,||233333kkkMNkk当且仅当16133kk，即14k时等号成立14k时，线段MN的长度取最小值83例5．已知点11(,)Axy,22(,)Bxy12(0)xx是抛物线22(0)ypxp上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为221212()()0xyxxxyyy(1)证明线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为255时，求p的值解析：(I)证明1:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB，12120xxyy设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则0MAMB即1212()()()()0xxxxyyyy整理得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径证明2:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB12120xxyy……..(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即2112211(,)yyyyxxxxxxxx去分母得:1212()()()()0xxxxyyyy点11122122(,),(,),(,)(,)xyxyxyxy满足上方程,展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径证明3:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB222222OAOAOBOBOAOAOBOB整理得:0OAOB12120xxyy……(1)以线段AB为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224xxyyxyxxyy展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy故线段AB是圆C的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则22221|(2)2||2||22|555ypyxyypyppdp22|()|5yppp当y=p时,d有最小值5p,由题设得2555p2p.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2222121212121211()(2)2444xxyyxyyyyyyppp221(2)ypp所以圆心的轨迹方程为222ypxp设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为255,则2m因为x-2y+2=0与222ypxp无公共点,所以当x-2y-2=0与222ypxp仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25522220(2)2(3)xyypxp将(2)代入(3)得222220ypypp2244(22)0ppp02.pp解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|25xxyyd2211222,2(0)ypxypxp22121224yyxxp又因12120xxyy1212xxyy22121224yyyyp12120,0xxyy2124yyp2212122221212121|()()||24()8|4545yyyyyyyypyyppdp2212(2)445yyppp当122yyp时,d有最小值5p,由题设得2555p2p.