卷积和相关.

1.卷积的定义两个复函数与()fx()hx()()()gxfxhx()()fhxd§1-3卷积和相关一维卷积定义为：*(asterisk)：代表卷积运算卷积的运算过程置换变量反转积分平移相乘()()()gxfxhxx即：()()hhx()()fhx()()fhxd图解法求解卷积()()fhxd0t)(1tf1-110t)(2tf1122121函数1函数2反转平移置换变量01-11011221)(1f)(2f0)(2f-12211)(2tf01-11)(1f1t21t221)(2tf1-1)(1f1t21t012)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf1-1)(1f1t21t0120.50.50.50.5相乘积分平移卷积结果0t)(1tf1-110t)(2tf1122121原函数卷积的两个效应平滑效应展宽效应：卷积非零值范围等于被卷积两函数的非零值范围之和。0t)(ty223-12189815卷积运算实例1:已知函数1）203()30xxfx其他1-13()0xhx其他1、反转h(x)并平移量为x，若二者无交叠2、反转h(x)并平移量为x，若二者出现交叠，分下面几种情况讨论最后结果：22011(1)-123()32313(3)36306xxxgxxxxx卷积的物理意义(光学成像系统)：光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。(,)(,)fxyhxy(,)fxy(,)hxy2.卷积的基本性质1).交换律2).结合律3).坐标缩放性质f(x,y)h(x,y)=h(x,y)f(x,y)1212[f(x,y)h(x,y)]h(x,y)=f(x,y)[h(x,y)h(x,y)]设f(x,y)h(x,y)=g(x,y)(a0,b0)1f(ax,by)h(ax,by)=g(ax,by)ab二维卷积:(,)(,)(,)gxyfxyhxy(,)(,)fhxxdd4).线性特性ab、:任意常数[(,)(,)](,)afxybhxygxy(,)(,)(,)(,)afxygxybhxygxy(,)[(,)(,)]fxyahxybgxy(,)(,)(,)(,)afxyhxybfxygxy5).复函数的卷积(,),h(x,y)fxy:均为复函数(,)(,)(,)RIfxyfxyifxyRIh(x,y)=h(x,y)+ih(x,y)g(x,y)=f(x,y)h(x,y)Ri=g(x,y)+ig(x,y)RRRIIg(x,y)=f(x,y)(x,y)f(x,y)(x,y)hh－IRIIRg(x,y)=f(x,y)(x,y)f(x,y)(x,y)hh＋设:6).可分离变量(,),h(x,y)fxy:两个可分离变量的二元函数(,)()()xyfxyfxfy＝(,)()()xyhxyhxhy＝(,)(,)gxyhxy＝f(x,y)()()xyhxdhydxy--f()f()()()xygxgy7).位移不变性f(x,y)h(x,y)=g(x,y)则00f(xx,yy)h(x,y)－－00=g(xx,yy)－－00=f(x,y)h(xx,yy)－－00g(x,y)(xx,yy)－－8).函数与函数的卷积g(x,y)(,)g(x,y)(x,y)kl00-=g(,)(xx,yy)dd－－－－00g(xx,yy)－－(,)=g(x,y)kl把函数移到脉冲所在的空间位置3.互相关两个复函数与的互相关：(,)fxy(,)gxy(,)(,)(,)fgexyfgxxdd令，则'x'y(,)(',')(',')''fgexyfxygdd(,)(,)fxygxy互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度。两个完全不同、毫无关系的信号，对所有位置，他们互相关的值为零。两个部分相似或相同的信号，存在非零的互相关。(,)(,)fxygxy相关的运算过程置换变量位移相乘积分(,)(',')(',')''fgexyfxygdd(,)(,)fxygxy4.互相关的运算性质1).互相关与卷积的联系()()()fgexfxgx()()fxgx证明：()()()fgexfxgx()()fxgd()[()]gfxd()()gxfx当为实偶函数时()fx()()fxgx()()fxgx2).互相关不满足交换律()()fxgx()()gxfx但：()()fxgx()()gxfx5.自相关(,)(,)(,)ffexyfxyfxy(,)(,)ffxydd(,)(,)fxyfdd1).自相关函数具有厄米对称性(,)(,)(,)ffexyfxyfxy*(,)ffexy(,)(,)fxyfxy(,)fxy为实偶函数时其自相关函数是实偶函数(,)(,)(,)ffexyfxyfxy(,)(,)fxyfxy(,)ffexy2).自相关函数的模在原点处有最大值(,)(,)fxyfxy(0,0)(0,0)ff证明：(,)(,)gxyhxydxdy(,)(,)gxyf1/21/222(,)(,)gxydxdyhxydxdy上式中令：(,)(,)hxyfxy则：(,)(,)ffxydd(,)(,)fxyfxy221/21/2[(,)][(,)()()]fddfxydxdy2(,)fdd6.有限功率函数的相关互相关定义下的函数，是有限能量函数，其平方是绝对可积的：(,)fxy(,)gxy2(,)fxydxdy2(,)gxydxdy但周期函数，平稳随机函数等都只满足条件：2,2,1lim(,)41lim(,)4yxxyxyyxxyxyfxydxdyxygxydxdyxy有限功率函数：当系统中能量传递的平均功率为有限值时的这类函数。其互相关为：(,)(,)fxyg,1lim(,)(,)4yxxyxyfxygddxy自相关定义为：(,)(,)fxyf,1lim(,)(,)4yxxyxyfxyfddxy