在动力学中临界极值问题的处理

在动力学中临界极值问题的处理物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问：（1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？（2）相遇前这鸟飞行了多少路程？【灵犀一点】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。【解析】飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。（1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲=v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s=(v甲+v乙)t则：2000=20010stssvv乙甲（3）这段时间，鸟飞行的路程为：10200svtm【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。【例2】在平直公路上一汽车的速度为15m/s，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s末车离刹车点的距离是m.【灵犀一点】在汽车刹车问题中，汽车速度为0后将停止运动，不会反向运动。在分析此类问题时，应先确定刹车停下来这个临界状态所用的时间，然后在分析求解。【解析】设汽车从刹车到停下来所用时间为t0，由运动学规律得：0000150,7.52ttvvvvattssa由于t010s，所以在计算时应将t=7.5s代入公式求解。则有：22011(157.527.5)56.2522svtatmm【思维总结】本题经常犯的错误是不考虑汽车刹车后速度为零所需时间这一临界状态，直接把题目中所给的时间代入公式。汽车刹车后不可能再倒行，此类问题应注意验证结果的合理性，若给定的时间内汽车仍未停下，则可直接套用运动学公式；若给定时间汽车早以停下，就应先计算刹车时间，然后再把这一时间代入位移公式求解。【例3】A、B两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？【灵犀一点】速度相等是解决追及和相遇问题的临界点。【解析】〖解法1〗由于当A车的加速度度小于B车的加速度，B车后启动，则B车一定能追上A车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。设当A车运动t时间时，两车速度相等，则有,(3)ABABvvatat解得：39BABatsaa把t代入两车之间距离差公式得：2211(3)2722ABABsssatatm〖解法2〗设A启动ts两车相距最远，A车的位移：212Asat，B车的位移：21(3)2Bsat两车间距离为22211(3)0.5913.522ABABsssatattt由数学知识可知，当992(0.5)tss时，两车间有最大距离：2211(3)2722ABABsssatatm【思维总结】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。三．在共点力动态平衡中与临界极值相关问题的解读物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。【例4】如图1所示，质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。【解析】依题意可知，当mgsinθ=μmgcosθ物体处于临界状态，即tanθ=μ则θ≤arcotμ讨论：tanθ=μ是一重要临界条件。其意义是：tanθμ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tanθ=μ时，重力沿斜面向下的分图1力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tanθμ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。【思维总结】对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置于斜面上，如tanθ≤μ，则物体保持静止；如tanθμ，则物体不能保持静止，而加速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如tanμ，则物体减速，最后静止；如tanθ=μ，则物体保持匀速运动；如tanθμ，则物体做加速运动。因此，tanθ=μ这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。【例5】如图2所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μtanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围．【灵犀一点】摩擦力可能有两个方向【解析】以B为研究对象，由平衡条件得：BTmg再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：cosNmg0,mmTfmgfN或：0,mmTfmgfN综上所得，B的质量取值范围是：(sincos)(sincos)Bmmm【思维总结】本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界条件下确定可能的运动趋势．【例6】如图3所示，将一物体用两根等长OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（）A.由小变大B.由大变小C.先减小后增大D.先增大后减小【灵犀一点】在进行动态分析时，要找到不变的因素和力发生变化的临界点【解析】悬挂点A由位置C移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。以结点O为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO绳的拉力方向不变，在AO绳由位置C到D移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图4所示。由图可知OB绳的拉力由小变大，OA绳的拉力由大变小，当OA垂直于OB时绳OA的拉力达到最小值，此时，绳OA的接力由减小到增大的临界点。则C正确。【思维总结】作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，TB的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存在极值和临界点，这是判断力变化的切入点。四．动力学中的临界极值问题的解读在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。【例7】如图5所示，一质量为0.2kg的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。（g=10m/s2）图2mamg图6F图5图3GDOCBATA2TB图4TA1GTA3TA4【灵犀一点】要考虑到小球可能离开斜面的情况，用极限法把加速度推到两个极端进行分析。【解析】当0a时，小球受到三个力（重力、绳的拉力、斜面的支持力）作用，此时绳平行于斜面；当a较大时，小球将“飞离”斜面，此时绳与斜面的夹角未知。设小球处在刚要离开斜面的临界状态时加速度值为a0，此时斜面对小球的支持力为零，斜面加速向右运动，对小球有：200cot,cot7.5/mgmaagms因为a=10m/s27.5m/s2，则小球离开斜面向右加速运动，如图6所示。则绳对小球的拉力和斜面对小球的支持力分别为：22()()2.83,0NFmgmaNF【思维总结】此题中的临界状态就是小球仍与斜面接触但与斜面间无弹力，在用极限法（分别设加速度为无穷大和零）分析出小球的两种可能。找出两种状态的分界点是解决本题的切入点。【例8】一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平的板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图7所示，现让木板由静止开始以加速度a(ag)匀加速向下移动，求经过多长时间木板与物体分离。【灵犀一点】当木板与物体之间作用力为零时，是两者分开的临界点。【解析】木板与物体分离的临界条件是它们之间的作用力为零。对于m物体由牛顿运动定律得：mgFkxma，当F=0以后，随着x的增大，物体m的加速度减小，二者开始分离。物体与木板分离的临界点为F=0时，此时由上式可得：(),mgamgkxmaxk由木板一直作加速度为a的匀加速运动，则由运动学规律得：2122(),2xmgaxattax【思维总结】分清物体运动过程受力情况的变化情况是本题的切入点，找到F=0时的是两物体分离临界点是解题的关键。高中物理学习方法探究佛山高明一中（528500）周兆富在以知识创新与应用为特征的21世纪，高中物理作为提高科学素养的重要学科，对同学们的成长和提高创新能力有着非常重要的作用，随着新课改的逐渐深入，全面培养创新精神、实践能力，提倡主动学习、自主学习、合作学习和探究