二面角的求法(精华版)

1、掌握二面角的定义法；2、掌握二面角的三垂线法；3、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面积法;5、掌握二面角的向量法。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.二面角的定义:复习:l2、二面角的表示方法AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定义二面角的平面角:ABPl二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围:0180二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(与顶点位置无关)∠APB=∠A1P1B1一、几何法：1、定义法:以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB，则∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:过二面角内一点A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法:ABOaPABCD过E作ED⊥PC于D，则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BD，过B作BE⊥AC于E，E∵△ABC为正△，∴BE=a23在Rt△PAC中，E为AC中点，则DE=在Rt△DEB中a42tan∠BDE=DEBE6∴∠BDE=arctan6例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂线法:几点说明：⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用。⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E1111cosABCEBCSSEFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小。1cosAFCGAFCESS练习3：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大小；（2）求二面角A-PC-B的大小。PABCDEcosABCPBCSS1、方向向量法:二、向量法：lABCD,,,,,,,arccoslBClABCDABlCDlBACDBACDBACDBACD二面角中、且，二面角的大小等于将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内垂直于二面角的棱且指向该面方向的向量）所成的角。1113ACABDC例：在正方体中，求二面角的大小。1111OCDBDABACxyz解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）,0,2,2DB,2,1,10,1,12,0,21OA2,1,11OC12121020DBOA（）＝12(1)21020DBOC∴A1O⊥BD，C1O⊥BD∴即为二面角A1-BD－C1的平面角。11OA,CO31COACOAC,OAcos111111OOO∴二面角A1－BD－C1的大小为31arccos求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于-m,n2、平面法向量法:2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。mnαβ如图：二面角的大小等于m,n例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，AD=SA=AB=BC=1，求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.12xyz解：以A为原点，如图建立空间直角坐标系。0,0,1,1,1,0,10,,0,1,0,02SCDB则：,,SCDnxyz设平面的法向量为,0,011,1,1,0,,12nSCnSDnSCnSDSCSD01,2,1202xyzxznyyzz10,,02SABAD平面的法向量为0106cos,1362nADnADnAD6,cos3nADarc因为二面角为锐角。6cos3arc二面角的大小为11111111111.2.ABCDABCDEBCFCDFDFABFDEABFCEFA练习：在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点。确定的位置，使得平面；当平面时，求二面角的大小。C1CB1BEA1D1DAFxyzAAxyz解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系11111.,0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,11,0,1,1,1,10,1,1,1,,0,,1,02DFxABCDABCDEFx设则11111111,,1,1,0,1,,1,02110DEABAFxDEABDEAB11110DEABFDEAFDEAF平面11022xx111102FCDFDEABF是的中点，即，，时，平面11112.,,0,0,,1222EFEC111,,,0,0CEFnxyznEFnECnEFnEC设平面的法向量为1101221,1,1202xynyz10,0,1AEFAA平面的法向量为1111cos,3nAAnAAnAA1CEFA二面角为钝角11cos3CEFAarc二面角的大小为1、二面角的定义2、二面角的平面角的定义3、二面角的平面角的求解：①找（或作）出平面角⑴定义法⑵棱的垂面法⑶三垂线定理法⑷向量法②求解解三角形或用向量的夹角公式