历届高考中的“等差数列”试题精选

一、选择题：（每小题5分，计50分）1.等差数列na的前n项和为nS，若＝则432,3,1Saa（）（A）12（B）10（C）8（D）62．等差数列{}na中，已知31a1，4aa52，33an，则n为（）（A）48（B）49（C）50（D）513.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）(A)9(B)10(C)11(D)124.设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4a（）A．8B．7C．6D．55.设)(Nnan是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6,S6=S7S8，则下列结论错误的是（）(A)d0(B)a7=0(C)S9S5(D)S6和S7均为Sn的最大值.6．设Sn是等差数列na的前n项和，若5935,95SSaa则（）A．1B．－1C．2D．217.已知等差数列{an}满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有()A．α1＋α101＞0B．α2＋α100＜0C．α3＋α99＝0D．α51＝518.如果1a，2a，…，8a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则()（A）1a8a45aa（B）8a1a45aa（C）1a+8a4a+5a（D）1a8a=45aa9.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）（A）13项（B）12项（C）11项（D）10项10.在各项均不为零的等差数列na中，若2110(2)nnnaaan≥，则214nSn（）Ａ．2Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．2二、填空题：（每小题5分，计20分）11设数列na的首项)Nn(2aa,7an1n1且满足，则1721aaa_____________.12.已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn=.13．已知na是等差数列，466aa，其前5项和510S，则其公差d．14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝21，则a2+a5＋a8＋a11＝____．三、解答题：（15、16题各12分，其余题目各14分）15．等差数列{na}的前n项和记为Sn.已知.50,302010aa（Ⅰ）求通项na；（Ⅱ）若Sn=242，求n.16.设数列}{na是公差不为零的等差数列，Sn是数列}{na的前n项和，且,9223SS244SS，求数列}{na的通项公式.17.设na为等差数列，nS为数列na的前n项和，已知77S，7515S，nT为数列nSn的前n项和，求nT。18.已知na是等差数列，21a，183a；nb也是等差数列，4a22b，3214321aaabbbb。（1）求数列nb的通项公式及前n项和nS的公式；（2）数列na与nb是否有相同的项？若有，在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由。19.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.20.已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)设1nnnaa3b,nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；参考答案一、选择题：（每小题5分，计50分）题号12345678910答案CCBDCACBAA二、填空题：11.15312.2n5n213.2114.7三、解答题：15.本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由,50,30,)1(20101aadnaan得方程组.5019,30911dada……4分解得.2,121da所以.102nan……7分（Ⅱ）由242,2)1(1nnSdnnnaS得方程.24222)1(12nnn……10分解得).(2211舍去或nn………12分16.本小题主要考查等差数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，根据已知条件列方程以及运算能力.满分12分.解：设等差数列}{na的公差为d，由dnnnaSn2)1(1及已知条件得)2(9)33(121dada，①),2(46411dada②由②得12ad，代入①有12194aa解得.94011aa或当,0,01da时舍去.因此.98,941da故数列}{na的通项公式98)1(94nan).12(94n17.本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力。满分14分。解：设等差数列na的公差为d，则dnnnaSn1211∵77S，7515S，∴,7510515,721711dada——6分即,57,1311dada解得21a，1d。——8分∴12121211ndnanSn，∵2111nSnSnn，∴数列nSn是等差数列，其首项为2，公差为21，∴nnTn49412。——14分18.本小题主要考查等差数列的基本知识,考查逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力.满分14分．解：（Ⅰ）设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2由a3=a1+2d1得82ad131a所以68n)1n(82an，所以a2=10,a1+a2+a3=30依题意，得30d2344b6db2121解得3d3b21，所以bn=3+3(n-1)=3n（Ⅱ）.21232)(21nnbbnSnn（Ⅲ）设an=bm,则8n=3m,既8)2m(3n①，要是①式对非零自然数m、n成立，只需m+2=8k,Nk,所以m=8k-2，Nk②②代入①得，n=3k,Nk,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切Nk都成立。所以，数列na与nb有无数个相同的项。令24k-6100,得,1253k又Nk，所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。19.解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…（Ⅱ）由6,0,7711114aaS得6,010,11132111adada即122,0202,11132111adada由①+②得－7d＜11。即d＞－711。由①+③得13d≤－1即d≤－131于是－711＜d≤－131又d∈Z,故d=－1将④代入①②得10＜a1≤12.又a1∈Z,故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…20点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.