《利用导数判断函数的单调性》

3.3.1利用导数判断函数的单调性（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数(u±v)/＝u/±v/.（3）．函数的商的导数（）/=(v≠0)。uv2''uvvuv（2）．函数的积的导数(uv)/＝u/v+v/u.函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.三、新课讲解:我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:yxo11－1在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.y在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.yaby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0由上我们可得以下的结论:如果在某个区间内恒有,则为常数.0)(xf)(xf设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在(a，b)内，则f(x)在此区间是增函数；(2)如果在(a，b)内，，则f(x)在此区间是减函数．f′(x)0f′(x)0例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:.22)(xxf由2x-20,解得x1,因此,当时,f(x)是增函数;),1(x令2x-20,解得x1,因此,当时,f(x)是减函数.)1,(x例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性,并画出f(x)草图.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当或时,f(x)是增函数.),3(x)1,(x令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当时,f(x)是减函数.)3,1(x故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而f(1)=1,f(3)=-3可得函数的大致图象1．利用导数求函数f(x)单调区间的方法如下：(1)求f(x)的定义域；(2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)0(或f′(x)0)可得函数的增区间(或减区间)．2．当函数f(x)的单调性相同的区间不止一个时，不能用“∪”连接，要用“，”分开或用“和”连接．练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是和;递减区间是(-2,1).)2,(),1(练习2:求函数y=3x2-6lnx的单调区间.练习3:求函数y=xex的单调区间.答案:递增区间是;递减区间是(0,1).),1(答案:递增区间是;递减区间是.),1()1,(1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．f(x)＝sinxB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝lnx－x课堂检测2．判断函数f(x)＝lnxx－1在(0，e)及(e，＋∞)上的单调性．解:函数的定义域是(0,+∞),.22121)(xxxxf(1)f(x)=x/2-lnx+1由即得x0或x2.,0220)(xxxf注意到函数的定义域是(0,+∞),故f(x)的递增区间是(2,+∞);由解得0x2,故f(x)的递减区间是(0,2).0)(xf说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.四、综合应用:例1:确定下列函数的单调区间:四、综合应用:(2)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,.cos21)(xxf令,解得0cos21x).(322322Zkkxk令,解得0cos21x).(342322Zkkxk因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:);)(322,322(Zkkk).)(342,322(Zkkk例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:.13)(2axxf若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)(xf若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,01)(xf若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf故a0,其单调区间是:单调递增区间:).31,31(aa单调递减区间:和).,31()31,(aa5．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________.解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－32，c＝－6.答案：－32－6例3:五、已知函数的单调性求参数范围[例3](12分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．[精解详析]f′(x)＝2x－ax2＝2x3－ax2.(2分)要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即2x3－ax2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．(5分)∵x20，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．(6分)∴a≤(2x3)min.(7分)∵x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，∴(2x3)min＝16，∴a≤16.(10分)当a＝16时，只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．(12分)6．已知函数f(x)＝2ax－1x2.(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)的单调增区间是(0,1)，求a的值．解：(1)f′(x)＝2a＋2x3，且f(x)在(0,1]上是增函数，故f′(x)≥0恒成立，所以a≥－1x3恒成立，又y＝－1x3在(0,1]上的最大值是－1，故a≥－1.a的取值范围为[－1，＋∞)．(2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)，∴f′(x)＝2a＋2x30的解集是(0,1)．即ax3＋1x30的解集是(0,1)．∴3－1a＝1，解得a＝－1.作业:3．应用函数的单调性求参数的范围或参数的值时，要注意单调性与区间的对应．一般地，函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，求出的一般是参数的范围．函数f(x)的单调递增区间是(a，b)，求出的一般是参数的值．