计算方法-刘师少版课后习题答案

1.1设3.14,3.1415,3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.0015926…，有31105.06592001.0xx.即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有..xx即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有..xx即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字1.2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004－0.0020090009000.00解（1）∵2.0004＝0.20004×101,m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0xxxm-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字1x=2，相对误差限000025.010221102151)1(1nrx（2）∵－0.00200=-0.2×10-2,m=-25105.00000049.0)00200.0(xxxm-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字1x=2，相对误差限3110221r=0.0025(3)∵9000=0.9000×104,m=4，0105.049.09000xxxm-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字4110921r＝0.000056(4)∵9000.00=0.900000×104,m=4，2105.00049.000.9000xxxm-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字相对误差限为6110921r＝0.00000056由(3)与(4)可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.1.3ln2=0.69314718…，精确到310的近似值是多少？解精确到310＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln20.6932.1用二分法求方程013xx在1,2的近似根，要求误差不超过31021至少要二分多少？解：给定误差限＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为)(211*abxxkk只要取k满足)(211abk即可，亦即96678.912lg10lg35.0lg12lglg)lg(abk只要取n＝10.2.3证明方程1-x–sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要二分多少次？证明令f(x)＝1－x－sinx，∵f(0)=10，f(1)=－sin10∴f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根.又f(x)=-1－cosx0(x[0.1]),故f(x)在[0，1]单调减少，所以f(x)在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为)(211*abxxkk只要取k满足)(211abk即可，亦即7287.1312lg10lg45.0lg12lglg)lg(abk只要取n＝14.2.4方程0123xx在x=1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式：（1）211xx，迭代公式2111kkxx（2）231xx，迭代公式3211kkxx（3）112xx，迭代公式111kkxx（4）13xx，迭代公式131kkxx试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。解：（1）令211)(xxf，则32)(xxf，由于159.05.112)(33xxf，因而迭代收敛。（2）令321)(xxf，则322)1(32)(xxxf，由于134.0)5.11(35.12)(322xf迭代收敛，且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。（3）令11)(xxf，则3)1(21)(xxf，由于1)15.1(21)(3xf迭代发散。（4）令1)(3xxf，则2132)1()(xxxf，由于115.15.11)(3232xxxf迭代发散。具体计算时选第二种迭代格式，3211kkxxn=0,1,…计算结果如下：4727057.1,481248.1,5.1210xxx466243.1,4670480.1,4688173.1543xxx4656344.1,4657102.14658768.1876xxx4656000.19x4656000.1,10219489xxx2.5对于迭代函数)2()(2xCxx，试讨论：（1）当C取何值时，),2,1,0(),(1kxxkk产生的序列kx收敛于2；（2）C取何值时收敛速度最快？解：（1）)2()(2xCxx，Cxx21)(，由已知条件知，当1221)2(C，即021C时，迭代收敛。（2）当0)(x时迭代至少是二阶收敛的，收敛最快。即0221)2(C，所以221C时收敛最快。2.7试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：(1)c不使用除法运算；(2)c不使用开方和除法运算.解：（1）令cx1，取21)(,1)(xxfcxxf，则22211cxxxcxxx迭代格式为212kkkcxxx注：若令cx1，取1)(,1)(xfcxxf，则xcxxx11，显然迭代格式不法不符合题意。（2）令cx21，取322)(,1)(xxfxcxf，则xxcxcxxxcxx)223(223212332迭代格式kkkxxcx)223(212.10设23)()(axxf。（1）写出解0)(xf的Newton迭代格式。（2）证明此迭代格式是线性收敛的。解：因23)()(axxf，故)(6)(32axxxf，由Newton迭代公式：,1,0,)()(1nxfxfxxnnnn得,1,0,665)(6)(232231nxaxaxxaxxxnnnnnnn以下证明此格式是线性收敛的因迭代函数,665)(2xaxx而,365)(3xax又,3*ax则0213165)(365)(333aaa故此迭代格式是线性收敛的。第三章解线性方程组的直接方法习题及解答（考试时二元）3.2用列主元素消去法解线性方程组6557710462332121321xxxxxxxx解：第一步列选主元10，将第一和第二行交换，再消去1x，得25106175250610100710321xxx第二步列选主元25，将第二和第三行交换，再消去2x，得5312575310052500710321xxx回代求解得0,1,1123xxx3.3用高斯-约当法求逆矩阵431212321A解：10043101021200132110043100132101021215.0035.2005.0125.1005.0015.0105.0125.1015.0035.2005.0015.016.02.012.0004.02.002.1102.0604.001315100416010112001则3154161121A3.4用矩阵的直接三角分解解方程组39673412321321321xxxxxxxxx解设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU，即列选主消元列选主消元消元332322131211323121111196314112uuuuuulll将右端两矩阵相乘后比较两端，可得1,1,2131211uuu3/6,2/411311121ulul53,31132123122122uluulu2,93222321231lulul得12,1333323321331uuulul得1253112,123121UL再求解方程组LY=b,UX=Y,即：33232132132121112532,323721yxyxxyxxxyyyyyy先由前一个方程组求得18,9,1321yyy，代入后一个方程组，求得原方程的解为23,21,21321xxx3.7证明对任意非奇异矩阵A、B有BABABA1111证：BABA1111BBAA11)(BBAA11)(BBAI11AB11BA等式成立3.8证明对任意非奇异矩阵A有AA11证：因为AAI1所以AAAAI11AA113.9设A、B∈nnR为非奇异矩阵，证明（1）Cond(A)≥1，Cond(A)=Cond(A-1)；（2）Cond(A)=Cond(A)，0,R；（3）Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)。证：(1)1)(11IAAAAACond)()()(11111ACondAAAAACond(2))(1)()()(111ACondAAAAAAACond(3))()()()(11111BCondACondBBAABABAABABABCond3.10设线性方程组为7.07511072121xxxx（1）试求系数矩阵A的条件数)(Acond；（2）若右端向量有扰动Tb)01.0,01.0(，试估计解的相对误差。解：（1）75107,751071AA1712,17maxA1712,17max1A2891717)(1AAACond（2）本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计，由解向量的精度的估计式：89.2101.0289)(bbACondXX第四章解线性方程组的迭代法习题及解答4.1用Jacobi迭代格式解方程组1052151023210321321321xxxxxxxxx要求005.0)()1(kkxx解Jacobi迭代格式为24.02.05.11.02.03.01.02.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取初始迭代向量Tx)0,0,0()0(，迭代结果为：Tx)000.2,5000.1,3000.0()1(Tx)6600.2,7600.1,8000.0()2(……Tx)9938.2,9961.1,9963.0()6(Tx)9977.2,9