华工2010级高数上期末试题有答案

一、填空题（共5小题，每小题3分）1）当xa时，1lnxfxx是无穷小，则实数a0。2）设3lnsin1yx，则dy3cos2sin1xdxx。3）设fx在0x可导，则00023limhfxhfxhh05fx。4）曲线lnyx的拐点为1,0。5）设xfxxe，则nfx在点x1n处取极小值1ne。二、计算下列各题（共4小题，每小题5分）1）求极限222111lim12nnnnn。解：因为22222111121nnnnnnnnn22limlim11nnnnnnn利用夹逼准则有222111lim112nnnnn。2）计算21lim1xxxex。解：原式22111limln1ln1limxxxxexxxxee令1tx，则原式2000111ln111limlimlim2122ttttttttteeee3）求极限202arctanlim1xxtdtx。解：原式222arctanlim41xxxx4）设函数10100xxxfxex，讨论函数fx在点0x处的连续性和可导性。解：1、讨论连续性因为100limlim001xxxxfxfe，所以fx在点0x处的连续；2、讨论可导性因为1100000011limlim0,limlim111hhhhhhfhffhfhhee所以fx在点0x处不可导。断点处用定义求导三、解答下列各题（共3小题，每小题6分）1）由方程tanyxy确定了隐函数yyx，求yx的二阶导数。解：方程tanyxy两边关于x求导得2sec1yxyy22222sec111secxyyyyxyy335222yyyyy2）设3,1txftyfe，其中ft二阶可导，且00f，求2002,ttdydydxdx。解：3331ttefedydxft，03030tfdydxf；336333232919131ttttttefeefeftefeftdydxft202290600tffdydxf3）指出数列nn中最大的数，并说明理由。解：考虑函数1xfxxx，因为21lnxxfxxx，所以1,xe时，fx递增，xe时，fx递减，所以数列nn只可能在2n或3n时取得最大值。又因为2332，因此数列nn中最大的数为33。四、解答下列各题（共4小题，每小题6分）1）设2ln111121xxfxxx，求fxdx。解：1、当1x时，1lnlnfxdxxdxxxxC2、当1x时，2211arctan212xfxdxdxxCx又因为fxdx在1x处连续，所以有12121312424CCCC223ln124arctan12xxxCxfxdxxxCx2）计算32211dxxx。解：方法一、设tanxt原式3233224441cos12sec23tansecsinsin3ttdtdttttt方法二、原式32112233xx方法三、设1xt原式3333323322211112123311ttdtdttttt3）设0s，求01,2,sxnnIexdxn解：1122001sxnsxnnnnnnexnexnIdxIIssss0100!!!!sxsxnnnnnnnenIedxsssss4）设2,aijkbijk，试在,ab所确定的平面内，求一个与a垂直的单位向量。解：方法一、设此向量为,,cxyz2112,1,3111ijkab，由条件可得222202301xyzxyzxyz解得121421221xyz，所求向量为142,,212121。五、解答下列各题（共2小题，每小题6分）1）求心形线1cosra围成的图形的面积。解：222220011cos21cos2cos1222aadd22203sin232sin2242aa2）求摆线sin,1cos0xattyata的一拱02t与x轴所围成的平面图形绕2ya旋转所得旋转体的体积。解：通过向下平移2a，此问题变为曲线sin,1cos20xattyataa的一拱02t与2ya所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V。22222233004281cos1cosaVaaydxaattdt223322301cos28sincos722taattdta六、证明下列各题（共2小题）1）（本题6分）写出拉格朗日中值定理，并给出证明。证明：略2）（本题5分）设函数fx在,上三阶可导，且,fxfx在,上有界。试证明：,fxfx在,上有界。证明：由已知可得存在0M有,,,fxMfxMx对任取的0x由泰勒公式有230000002!3!fxffxfxfxxxxxxx因此有010001(1)2!3!fxffxfxfx020001(2)2!3!fxffxfxfx(1)(2)得2100001123!3!fffxfxfxfx0143fxM(1)(2)得1200011123!3!fffxfxfx0116fxM