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第29章几何的回顾29.1几何问题的处理方法29.1.1用推理方法研究三角形29.1.2用推理方法研究四边形(1)29.1.3用推理方法研究四边形(2)29.1.4用推理方法研究四边形(3)29.1.5用推理方法研究四边形(4)29.2反证法29.2.1证明的再认识(1)29.2.2证明的再认识(2)第29章几何的回顾29.1几何问题的处理方法29.1.1用推理方法研究三角形教学目标知识技能目标1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．过程性目标在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．教学重点1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．教学难点在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．一、情境导入请同学们按以下步骤画△ABC．1．任意画线段BC；2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A．这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．二、探究归纳1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．分析要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”说明(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）所以AB＝AC．（等角对等边）2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．求证：等腰三角形的两个底角相等．已知：△ABC中，AB＝AC．求证：∠B＝∠C．分析仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角”）推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）所以∠B＝∠C．（等边对等角）说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．求证：PD＝PE．分析只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．分析要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_______，结论是_______；命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_______，结论是_______．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？例题：例1如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．求证：BE⊥AC．分析由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC．例2如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．分析要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．例3写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．(1)全等三角形的面积相等；(2)同角的余角相等；(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．例4写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．分析首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．例5如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝AD．求证：△EMC是直角三角形．作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．3．给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？29.1.2用推理方法研究四边形(1)教学目标知识技能目标1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标1.掌握证明的一般步骤；2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题．教学重点：知识技能目标1、2教学难点：过程性目标2教学过程：(一)情境导入在第20章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定，你能用逻辑推理的方法来证明它们吗？(二)实践与探索1根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．分析要证明四边行ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等．于是得：平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边．利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理3两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，BC＝DA．分析要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等于是可得：平行四边形性质定理2平行四边形的对角相等．同样，我们也可证明：平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分．例如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．分析要证BF∥DE，只要证四边形EBFD是平行四边形即可变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么BF∥DE成立吗？(四)小结与作业1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明．作业：如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC29.1.3用推理方法研究四边形(2)教学目标：知识技能目标1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩形；2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．教学重点：知识技能目标1、2教学难点：经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．(一)情境导入教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．学生思考如下问题：(1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？(二)实践与探索1我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：定理矩形的四个角都是直角．由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD．分析由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理有三个角是直角的四边形是矩形．思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上面一个