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的正方形纸片，纸片的边长应是多少?（）2=25§12.1平方根与立方根1.平方根本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面积为25cm2，求这个正方形的边长．容易知道，这个正方形的边长是5cm．这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．概括如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）．在上述问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为（－５）2＝５2＝２５，所以－５也是25的一个平方根．这就是说，5与－５都是25的平方根．根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．例1求100的平方根．解因为102＝100，（－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．试一试（1）144的平方根是什么?（2）0的平方根是什么?（3）254的平方根是什么?（4）－４有没有平方根?为什么?请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．概括一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立即可以得到它的另一个平方根．的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－a．因此正数a的平方根可以记作±a．a称为被开方数．因为0的平方等于0，而其他任何数的平方都不等于0，所以0的平方根只有一个，就是0．通常也记作0＝0．思考负数有平方根吗?求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．在例1中，100的算术平方根是100＝10，100的平方根是±100＝±１０．例2将下列各数开平方：（1）49；（2）1.69解（1）因为72＝49，所以49＝7，因此49的平方根为±７；（2）练习1.说出下列各数的平方根：（1）64；（2）025；（3）49〖〗81．3.下列说法正确吗?为什么?如果不正确，那么请你写出正确答案．（1）0.09的平方根是0.3；（2）25＝±５．2.立方根问题现有一只体积为216cm3的正方体纸盒，它的棱长是多少?思考这个实际问题，在数学上可以提出怎样的一个计算问题?从这里可以抽象出一个什么数学概念?概括上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216．容易验证，63＝216，除6以外，任何数的立方都不等于216，所以正方体的棱长应为6cm．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cuberoot）．试一试（1）27的立方根是什么?（2）－２７的立方根是什么?（3）0的立方根是什么?请你自己也编三道求立方根的题目，并给出解答．概括任何数（正数、负数或零）的立方根如果存在的话，必定只有一个．数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”．a称为被开方数，3称为根指数．求一个数的立方根的运算，叫做开立方．例4求下列各数的立方根：（1）278；（2）－125；（3）－0.008．解（1）因为（32）3，所以.322783（2）因为（－5）3＝－125，所以3125＝－5．（3）。练习1.求下列各数的立方根：（1）512；（2）－0.027；（3）－12564．习题12.11.求下列各数的平方根：（1）8116；（2）0.36；（3）324．2.求下列各数的立方根：（1）0.125；（2）－6427；（3）1728．4.（1）10在哪两个整数之间?（2）3.1＜10＜3.2正确吗?（3）下列四个结论中，正确的是（）．A.3.15＜10＜3.16B.3.16＜10＜3.17C.3.17＜10＜3.18D.3.18＜10＜3.195.在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为40.5cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?（不需要写出具体结果）§12.2实数与数轴做一做（1）用计算器求32，；（2）利用平方关系验算所得的结果．这里，用计算器求2，显示结果为1.414213562，而再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2，只是接近于2．这就是说，我们求得的2的值，只是一个近似值．用计算机计算2，你可能会大吃一惊：2≈1.4142135622９26912…在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说，2不是一个有理数．那么，2是怎样的数呢?我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，例如，41＝0.25，32＝0.６＝0.666666666…，71＝0.142857＝0.142857142857142857…．2不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数．类似地，35、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数．无限不循环小数叫做无理数（irrationalnumber）．上面所提到的2、35、π等都是无理数．有理数与无理数统称为实数（realnumber）．试一试你能在数轴上找到表示2的点吗?如图12.2.1，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2．这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2．利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图12.2.2所示．概括数学上可以说明，数轴上的任一点必定表示一个实数，即它所表示的数，不是有理数，就是无理数；反过来，每一个实数（有理数或无理数）也都可以用数轴上的点来表示．换句话说，实数与数轴上的点一一对应．实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行．在第2章学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．例1试估计3＋2与π的大小关系．分析用计算器求得3＋2≈3.14626437，而π≈3.141592654，这样，容易判断3＋2＞π．练习1.判断下列说法是否正确：（1）两个整数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数；（2）任意一个无理数的绝对值是正数．3.比较下列各组数中两个实数的大小：（1）23和32；（2）－7/2和－π/3．小结二、概括1.掌握平方根和算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键．在研究时要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性．2.任意一个正实数有两个平方根，0的平方根是0，负实数没有平方根．而任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根为正数，0的立方根是0，负数的立方根为负数．有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系．复习题A组1.根据表格中所给信息填空：被开方数1平方根0算术平方根2立方根3-42.将下列各数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连结起来．22，5，－π/2，0，－1.6B组3.观察下列各方格图中的带阴影的图形，如果它们都可以剪开，重新拼成正方形，那么所拼成的正方形的边长各为多少?这些正方形一样大吗?（如果你有兴趣，可以试试如何剪拼成一个正方形）（第3题）4.如果把棱长分别为2.15cm、3.24cm的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大正方体的棱长有多大?（用一个式子表示，并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）C组5.计算下列各题（必要时可使用计算器）：（1）211；（2）221111；（3）222111111；（4）222211111111．仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律?你能解释这一规律吗?试继续写出三个类似的算式，并猜测下式的结果：