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第27章证明本章用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说理得到的有关三角形、四边形的一些命题重新进行了研究。通过对证明的方法与步骤的介绍，让学生充分地感受到用直观感知、操作说理的方法是研究几何图形属性的重要方法，而用逻辑推理的方法也是研究几何图形属性的重要方法。一、教学目标：1．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用学得的公理、定理、定义进行逻辑推理。2．理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。3．体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤。4．通过对欧几里得的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。二、教材特点：1.限制内容：教材中用逻辑推理方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。2.控制难度：教材中所选例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。3．重视分析：在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程。4．留有余地：教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给了学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。教材中的阅读材料、课题学习：中点四边形，都为学生留下自行探索、想象的空间。三、知识结构图：四、课时安排：§27.1证明的再认识---------------2课时§27.2用推理方法研究三角形-------6课时§27.3用推理方法研究四边形-------8课时复习-----------------------------2课时课题学习中点四边形--------------2课时五、教学建议：§27.1证明的再认识1．本节首先回顾了探索几何图形性质的常用的两种方法：（1）通过看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜，并在实验、操作中对它们作出解释的方法。（2）用逻辑推理的方法。其次指出逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，从而根据全日制义务教育数学课程标准给出了本教材所规定的公理。事实上，我们还将等式的性质、不等式的性质以及等量代换作为推理的依据。另外也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”作为推理的依据。2．本节通过对“三角形的内角和是180”的回顾，使学生认识到有些命题可以通过观察和实验得到，但也有一些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性。3．在证明“三角形的内角和是180”的过程中，将三角形的三个内角拼在一起的直观观察方法为我们提供了证明三角形内角和时添辅助线的思路。在证明的过程中，我们进一步强调了证明的格式，并力求使学生知道每一步推理都必须有依据，力求使证明的表述条理清晰。4．有关辅助线的概念，本教材作了较为淡化的处理，仅在云图中提出“图中的虚线为证明需要所添加的辅助线”。5．定理：“n边形内角和等于（n–2）180”可以通过将n边形划分成n–2个三角形，然后利用三角形内角和等于180得到，可参阅第8章中的说理过程。6．“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”以及练习第1题中“直角三角形的两个锐角互余”都是“三角形的内角和是180”的直接推论。有了“三角形的内角和是180”这条定理，才能推得上述两条定理。而习题中的第3题“角角边”则是“角边角”公理与“三角形的内角和是180”的共同产物。应使学生体会到定理之间的逻辑关系。7．阅读材料：图形中的“裂缝”想说明的是视觉上的错觉往往会欺骗我们，从而使学生体会到证明的必要性。图4和图5中最大的直角三角形的两边直角边分别为5个单位长与12个单位长。因此斜边并没有经过任何方格的顶点，因此图4和图5的分割都是视觉上的错觉。§27.2用推理方法研究三角形1．本节通过对等腰三角形识别方法的回顾，使学生进一步体会到证明的必要性。在证明等腰三角形判定定理时，教材通过添加顶角的平分线，得到全等的两个三角形，如果添加底边上的高，同样也可以证明两个三角形全等，如果添加底边上的中线，则不能证明两个三角形全等。在证明等腰三角形的性质定理时，可以通过添加顶角的平分线或添加底边上的中线，证明底角相等。如果添加底边上的高，则不能证明两个三角形全等。因为斜边、直角边定理此时还没有获得证明，虽然该定理以前曾经学过，必须使学生明确我们的逻辑体系是从最原始的几条依据——公理出发的，否则可能会出现循环论证的错误。2．在证明斜边、直角边定理时，可以通过运动，将三角形拼在一起，使学生找到证明的途径。在解答几何问题时，通过图形的运动，往往能找到证明的突破口。3．“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个性质学生在七下已经接触过，而“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”学生以前并没学过。同样，“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”学生在七下也已接触过，而“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”学生以前也没学过。由此可以知道，用逻辑推理的方法，还可进一步探索图形的属性。通过对角平分线的两条定理的类比，可以得出线段垂直平分线的相应定理，这两对定理是为逆命题、逆定理的教学作准备的。因此对这两对定理，学生必须分清什么是条件，什么是结论，防止条件与结论之间混淆不清。4．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。原命题与逆命题是相对的，如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题就是它的逆命题。在原命题与逆命题的教学中，要尽量避免对题设多于一个和结论多于一个的命题进行讨论。5．对于勾股定理的逆定理，教材中是用构造法证明的。有了它，就可判定符合条件的三条边能构成直角三角形，并可得出哪个角是直角。但它并不能判定不符合条件的三条边（如3、4、6）不能构成直角三角形。只有学了反证法后，才能对此作出判断。§27.3用推理方法研究四边形1．本节利用逻辑推理的方法证明了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。在分析时，必须强调目前只能用“平行四边形的定义”来证明，即想方设法证明这两组对边分别平行。因此，只要证另一组对边平行即可。而在证“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，除了应用“平行四边形的定义”证明该四边形两组对边分别平行以外，也可证明该四边形有一组对边平行且相等。2．在平行四边形的判定和性质的教学中，可引导学生按边的关系、角的关系以及对角线的关系进行分类。引导学生根据已知条件的特点，正确合理地使用平行四边形的判定和性质定理，可以用平行四边形知识证明的问题，不要再倒退到用三角形的全等来证明。3．本教材将矩形和菱形放在一起进行类比，是为了更好地掌握矩形和菱形的特殊性质。判定一个四边形是矩形或菱形是学生感到较困难的内容之一，教材中特设一个思考：根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形或菱形呢？教学中可制作简易的模型，保持边的大小不变，仅改变内角大小或保持内角的大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化对图形产生的效果，从而加深学生的记忆与理解。4．正方形既是矩形又是菱形，因此正方形具有矩形和菱形的所有性质。教学中要抓住正方形的这一本质。5．等腰梯形是一种特殊的梯形，是日常生活中常见的图形之一，因此教材专门对等腰梯形作了研究。在教学等腰梯形的有关定理时，可通过平移腰或对角线，将等腰梯形分解成平行四边形和等腰三角形，然后利用平行四边形和等腰三角形的有关知识证得结论，这就是教材中辅助线的由来。6．三角形的中位线与三角形的中线是不同的概念。教学时要加强类比，还要注意加强梯形中位线与三角形中位线之间的对照。教材将梯形的中位线定理的证明转化为三角形的中位线问题，利用三角形中位线定理证明了梯形的中位线定理。事实上，将梯形的上底逐渐缩短而变为一点时，梯形成了三角形，因此，三角形中位线定理是梯形中位线定理的特殊情况。7．反证法也是一种重要的证明方法。教材中通过简单的例子，使学生了解反证法的证明步骤，体会反证法的思想。课题学习中点四边形1．当原四边形ABCD的对角线互相垂直时，中点四边形EFGH是一个矩形，当原四边形ABCD的对角线相等时，中点四边形EFGH是一个菱形，当原四边形ABCD的对角线互相垂直且相等时，中点四边形EFGH是一个正方形。2．可以知道△AEH的面积是△ABD的面积的四分之一，△CFG的面积是△CBD的面积的四分之一，因此△AEH与△CFG的面积和是四边形ABCD面积的四分之一，同样△BEF与△DGH的面积和是四边形ABCD面积的四分之一，所以S△AEH+S△CFG+S△BEF+S△DGH=S四边形ABCD，即原四边形ABCD的面积是中点四边形EFGH的面积的2倍。我们已经知道三角形的面积是它的中点三角形的面积的4倍，四边形的面积是它的中点四边形的面积的2倍，那么五边形的面积是它的中点五边形的面积的多少倍呢？六边形呢？如果有条件的话，不妨让学生利用计算机中的数学软件探索一番，以增加动手探索的能力。事实上，五或六边形的面积与它的中点五或六边形的面积并没有固定的倍数关系。HGFEDCBA六、课时教案或学案（一）用推理的方法研究直角三角形一、定理总结：1、直角三角形的两个锐角互余。∵∠ACB=90°∴+=2、等腰直角三角形的两个底角相等，都是45°。∵∠C=90°，CA=CB∴∠=∠=°3、30°所对直角边是斜边的一半∵∠C=90°，∠A=30°∴4、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半∵∠ACB=90°，E是AB中点∴5、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于∵∠ACB=90°∴2+2=2c=a=b=6、勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。已知：如图27.2.9，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且222cba求证：△ABC是直角三角形。分析首先构造一直角三角形A’B’C’，使得∠C’=90°，B’C’=aC’A’=b，△ABC≌△A’B’C’，从而可知△ABC是直角三角形。CBACBAECBAabcCBA图27.2.9CA'B'C'BA证明:二、逆命题、逆定理1、逆命题:观察：“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题。其中第一个命题的题设是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做命题。如果把其中一个命题叫做命题，那么另一个命题就叫做它的命题。练习:命题：“两直线平行内错角相等”题设为结论为它的逆命题为2、逆定理：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题。看课本42页，什么是逆定理。A组1、设三角形三边长如图示，试判断三角形是不是直角三角形。解：（1）∵32+42=52=∴2+2=2∴∠=90°（）435CAB（2）2、设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形，如果是直角三角形，请指哪条边所对的角是直角。（1）7，24，25（2）12，35，37∵2+2=2=（3）a=6，b=8，c=10（4）a=1，b=2，c=3（5）a=8，b=15，c=17（6）a=5，b=6，c=73、指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。（2）等边三角形的每个角都等于60°347CAB（3）全等三角形的对应角相等。（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。4、举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除。（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等。5、给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？（二）线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定义：若=，⊥则叫AB的垂直平分线2、有关定理：定理1：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（现用推理方法证明定理）如图27.2.6，已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点。求证：PA=PB。证明：∵（已知）∴∠==9