华杯赛初二第一讲因式分解

1华杯赛辅导初二第一讲因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲在数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、添项拆项是为了分组后，能运用公式（包括配方）或提公因式．例1因式分解：①x4+x2+1；②a3+b3+c3－3abc．①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式．解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20；②a5+a+1．①分析：把中项－11x拆成－16x+5x分别与x5，20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数）解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4)=(x+4)(x2－4x+5)②分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+a2+a+1=a2(a－1)(a2+a+1)+a2+a+1=(a2+a+1)(a3－a2+1)一、双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为2即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)3原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)4原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．二、运用因式定理我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a.即若x=a时，f(x)=0,［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2若既约分数pq是整系数多项式nnnnnaxaxaxaxaxf122110)(的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．定理3若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等．例2因式分解：①x3－5x2+9x－6；②2x3－13x2+3．①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x－2，∴x3－5x2+9x－6＝（x－2）（x2－3x+3,）②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±2，±21，±23，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x=21时，原式值为0。故可知有因式2x-1解：∵x=21时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得2a－1＝－13，a=－6∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。5例3分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例4分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±2，所以原式的有理根只可能是92,91,32,31,2,1，经检验，只有31和32是原式的根，所以原式有因式)31(x和)32(x．又因为：)239(91)23)(13(91)32)(31(2xxxxxx所以，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)．说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式6可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．三、待定系数法例5因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20．解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y),用待定系数法，可设2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得333142baba解得54ba∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)这是关于x的二次三项式常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2,n=1∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例6分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有7解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例7分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以，原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．三、巩固练习1．分解因式：①x4+x2y2+y4；②x4+4；③x4－23x2y2+y4．82．分解因式：①x3+4x2－9；②x3－41x+30；③x3+5x2－18；④x3－39x－70．3．分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3；②x3－3x2+3x+7；③x3－9ax2+27a2x－26a3；④x3+6x2+11x+6；⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2．4．分解因式：①3x3－7x+10；②x3－11x2+31x－21；③x4－4x+3；④2x3－5x2+1．5．分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8；②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8；9③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48；④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91．6．分解因式：①x2y2+1－x2－y2+4xy；②x2－y2+2x