华杯赛集训试题精选及详解

华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料11、某校科技小组有一块长方形试验田，已知这块试验田的面积是7.79平方米，并且长比宽多2.2米，这个长方形的周长是（）米。解法一、利用平方差公式分解质因数。先将长、宽各扩大10倍，则面积扩大100倍，面积为779，长、宽差为22，这样分数转化成整数。779=900－121=302－112=（30＋11）×（30－11）=41×29原来长应为4.1，宽应为2.9，周长为（4.1＋2.9）×2=12（米）。解法二、利用“弦图”知识解答。如右图，将四个同样的试验田拼成一个大正方形，中间小正方形边长是2.2米，面积为2.2×2.2=4.84（平方米）。大正方形面积为：7.79×4＋4.84=36（平方米）。大正方形边长为6米。大正方形边长等于试验田的长＋宽，所以试验田的周长为6×2=12（米）。解法三、利用“割补”巧解。根据“长比宽多2.2米”的条件，把多出的部分平均分成两个长方形，把其中的一格长方形移补，再加上一个边长为1.1米的小正方形，这就构成一个大正方形（如右上图）。大正方形的面积为7.79＋1.12=9(平方米),，所以原长方形的宽＋1.1=3米，宽=1.9米，长为1.9＋2.2=4.1米，原长方形周长为（1.9＋4.1）×2=12米。2、某蓄水池有两个进水管，单开甲管注满水池需要18小时，单开乙管需要24小时。如果要求12小时注满水池，并且在这个注水过程中甲、乙两管合开8.4小时。问甲管与乙管各开了多少小时？【分析与解】解法（一）60114.8)241181(112—8.4=3.6（小时）华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料2原题简化为：甲、乙3.6小时注水6011，甲每小时注水181，乙每小时注水241。本题实际是“鸡兔同笼问题”鸡有脚181只，乙有脚241只，鸡兔3.6只共有脚6011只，问鸡、兔各有几只？我们利用“假设法”来解答。2.1)241181()60116.3181(（只）3.6－1.2=2.4（只）所以，乙管注水8.4＋1.2=9.6小时，甲管注水8.4＋2.4=10.8小时。解法（二）“转化条件”甲、乙两管合开8.4小时，可以转化为甲管单开8.4小时，乙管也单开8.4小时，原题可以叙述为：甲每小时注水181，乙每小时注水241，甲、乙两管单开，12＋8.4=20.4小时注满水池。利用“假设法”解答。6.9721184.2)241181()14.20181(（小时）20.4－9.6=10.8(小时)解法（三）“画长方形图”解题。由解法（二）知，甲的工作效率为181，甲的工作效率为241，甲、乙的平均工作效率为4.201。求甲、乙各注水几小时？阴影I与阴影II的面积相等，I与II宽的比为)4.201181(：)2414.201(=9：181它们长的比应为8：9，2414.20120.4小时是17份，每份为20.4÷17=1.2小时，9份为20.4小时1.2×9=10.8小时，8份为1.2×8=9.6小时。华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料33、0，1，4，6四个数码挺有意思，每取两个求出其差（大数减小数），这六个差可以排列成1，2，3，4，5，6六个连续自然数。利用它来解下题：上图表示一个矩形，它的长、宽数值都是两位数（用□□表示），它与一个边长为整数的正方形等积。又知组成这个两位数的四个数码，如果每取两个求出其差，也可以排列成1，2，3，4，5，6六个连续数，你能说出正方形的边长吗？（10分）分析与解：设组成长方形的边长的数码依次为A、B、C、D，且A﹤B﹤C﹤D。则A与D相差6，且A与B，B与C,C与D之间的差有以下六种情况：①1，2，3②1，3，2③2，1，3④2，3，1⑤3，1，2⑥3，2，1第一类情况里，任何两个数的差都不为4；第三类情况里，任何两个数的差都不为5；第五类情况里，任何两个数的差都不为5；第六类情况里，任何两个数的差都不为4。由A的取值范围可以是0，1，2，3，把所有情况可以分为四类考虑。第一类：ABCD01460256第二类：ABCD12571367第三类：ABCD23682478第四类：ABCD34793589对这8种情况分别进行枚举筛选，可以得到以下符合条件的三种情况，即：□□□□＝华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料475×12=30×3063×28=42×4227×48=36×36综上所述，正方形的边长是30、42或36。4、赵、钱、孙、李、周五人中，每两人之间都打过电话，且通话次数恰好是这两个人的年龄之差。现知，周和赵相差9岁，孙和钱相差10岁，周和钱相差6岁，李和孙相差8岁，李和周相差12岁，赵和孙相差5岁，这五个人之间共通电话多少次？策略：若想求出通电话的次数，必须知道五个人的年龄大小情况及两个人的年龄差分别是多少，我们可以根据年龄问题的特点利用图解法求解。详解：1．我们先看一组简单的练习：（1）若甲比乙大5岁，乙又比丙大4岁，那么丙应该比甲小9岁。三个人的年龄关系可以用右图表示出来：（箭头指向年龄小的）图中三个年龄差相加减结果为0。（想一想，为什么？）5+4-9=0（数字前面是加号的线段箭头逆时针指，是减号的箭头顺时针指。）（2）如果是四个人，四个人的年龄差相加减结果也应该是0。（如右图所示）甲比乙大5岁，丙比乙大3岁，丁比丙大6岁，丁比甲大4岁。算式：5-3-6+4=02:（1）先将五人已知两两相关的岁数标在图1中,假设周比赵大(这并不影响结果)图中箭头指向两人中年龄较小的。华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料5（2）根据练习得到的知识按照周、赵、孙、李、周围成一圈，图中所对应的两人年龄差相加减应当等于0，由9-5+8-12=0，数字前面是加号的箭头逆时针指，是减号的线段的箭头顺时针指，可得到图2。（3）同理，按周，钱，孙，李、周转一圈,由10+8-12-6=0,可得到图3。现在我们把题目中的条件用图3表示出来，其余两人之间的关系怎么办呢？通过图3可以看出钱比周大6岁，周比赵大9岁，那么钱应该比赵大15岁。箭头指向赵。同理可以求出钱与李、孙与周、赵与李的年龄差（见图4）将图4中所有数相加，得到五人之间共通话(9+12+8+10+15+5+6+3+18+4=)90次。探究：（1）在分析过程中用到了有关年龄问题的那些知识？（2）如果假设赵比周大9岁，或者李比周大12岁结果会是多少呢？请你用例题中介绍的方法试一试，看一看结果是否相同？华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料65、如图（1），红、绿两个正方形叠放在一起，已知红色正方形的边长是绿色正方形边长的0.75倍，红色正方形的面积数值是一个三位数，绿色正方形露出部分的面积数值也为一个三位数，并且和红色正方形面积数值的三个数字相同，只是这两个三位数的三个数字排列顺序不同。求绿色正方形的面积是多少？【分析与解】：我们根据红、绿正方形边长的关系，把绿色正方形平均分成16份，红色正方形正好为9份，绿色正方形露出部分为7份。（如图2）红色正方形面积数值与绿色正方形露出部分面积数值的三个数字相同，它们除以9的余数应相同，它们的差必是9的倍数。2个小正方形的面积是9的图（1）倍数，2与9互质，所以每个小正方形的面积都应是9的倍数。绿色正方形露出部分面积是一个三位数，7个小正方形的面积和是三位数，9×7=63，63是一个两位数，所以每个小正方形的面积最少为18。红色正方形面积是一个三位数，9个小正方形的面积和是三位数，117×9=1053，1053是一个四位数，所以每个小正方形的面积最多为108。图（2）在18、27、36、45、……、108之间，经试验只有18×9=162和18×7=126符合题义。所以，绿色正方形的面积为162+126=288。6、如图所示，把边长为6cm的等边三角形剪成4部分，从三角形顶点往下1cm处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形。问：所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？分析与解答：将大三角形分成边长1cm的小等边三角形即可求解。大三角形中包含36个小等边三华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料7角形，空白三角形包含3个小等边三角形。所以7、把一些棱长为1的正方体粘成一个棱长为n（n为正整数）的实心正方体，将大正方体的一个或几个面染成红色，然后再将大正方体拆散，发现有281个小正方体被染色了，那么n=（）。解：我们把大正方体分为上、下，前、后，左、右六个面。1.如果只染一个面，只染大正方体的上面，那么，被染色的小正方体的块数应为n2个，因为281是质数，不是一个完全平方数，所以不可能是染一个面。2.如果将大正方体的两个面染成红色有两种情况。①染上下两个面（两个面相对），如图1，这时被染色的小正方体的块数应为2n2个，这也是不可能的。②染上面和前面两个面（两个面相邻），如图2，这时这时被染色的小正方体的块数应为：2n2－n=n×（2n－1），因为281是质数，所以n×（2n－1）不可能等于281。3.如果将大正方体的三个面染成红色，有如下两种情况①染上面、前面和右面，如图3，这时被染色的小正方体的块数应为n3－（n－1）3，n3－（n－1）3应是被3除余1的数，这是因为：n被3除的余数012n3被3除的余数012（n－1）被3除的余数201（n－1）3被3除的余数201图2图1华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料8n3－（n－1）3被3除的余数111因为281被3除余2，所以n3－（n－1）3不可能等于281。（或被染色的小正方体的块数，还可以表示为3n2－3n＋1=281，那么3n2－3n=280，因为280不是3的倍数，所以也不合题意）。②染上面、前面和下面，如图4，这时被染色的小正方体的块数应为：3n2－2n=n×（3n－2），因为281是质数，所以n×（3n－2）不可能等于281。4.如果将大正方体的四个面染成红色，有如下两种情况①上、下两个面不染色，如图5，把被染上红色的小正方体切分成弦图那样，这时，被染上红色的小正方体块数应为4的倍数，而281不是4的倍数，不合题意。②上面和前面不染色，如图6，这时被染色的小正方体的块数为：2n2＋n×（n－2）＋（n－2）×（n－1）=4n2－5n＋24n2－5n＋2=2814n2－5n=279n×（4n－5）=279因为279=1×179=3×91=9×31，经试验只有当n=9时，才符合要求。5.如果将大正方体的五个面染上红色，如上面不染色，这时被染色的小正方体的块数为：2n2＋2n（n－2）＋（n－2）×（n－2）=5n2－8n＋4如果5n2－8n＋4=281，那么5n2－8n=277，n×（5n－8）=277，由于277是质数，所以n没有符合题意的解。6.如果将大正方体的六个面都染上红色，这时被染色的小正方体的块数为：n3－（n－2）3由于n与n－2是同奇偶的，所以n3与（n－2）3也应是同奇偶的，同奇偶的两个数的差应为偶数，而281是奇数，所以n3－（n－2）3不可以等于281，不符合题意。综上所述，只有当n=9；有两个相邻的面不染色时，才符合题目要求。所以图3图4图5图6华杯赛集训试题精选及详解刘强老师资料9n=9。8：把一个大长方体表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块，那么可以把这个大长方体分割成（）个小长方体。A、20个B、27个C、32个D、42个【分析与解】大长方体表面涂色，分割后能出现两个面涂色的小长方体，应该是沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割或沿大长方体三个方向都切割的分割方法。图1图2沿大长方体长、宽、高中的两个方向切割时（如图1），两个面涂色的小长方体的个数为（a－2）×(b－2)个，大长方体被分成的块数为a×b×1块。沿大长方体三个方向切割时（如图2），两个面涂色的小长方体的个数为［（a－2）＋(b－2)＋(C－2)］×4个，大长方体被分成的块数是a×b×c块。分类两个面涂色情况长方体的体积体积顺序（大到小）沿两个方向分割的情况12=（a－2）×(b－2)=1×