华师大八上菱形讲练题答案1

例1．已知：如图所示，菱形ABCD，E是AB中点，DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度数（2）AC的长（3）菱形ABCD的面积解（1）∵E为AB中点，ABCD为菱形∴EA＝EB＝21AB＝21AD∵DE⊥AB∴∠1＝30°，∠DAB＝60°∴△DAB为等边三角形∴∠ABC＝120°（2）OA＝DE＝23a，AC＝2OA＝3a（3）SABCD＝21×AC×BD＝223321aaa例2．如图：Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，自A作AH⊥BC于H，交BD于点E，自D点作DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．分析：由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等．证明∵∠AED＝90°-∠DBH，∠ADE＝90°-∠ABD，又∵∠DBH=∠ABD，∴∠AED＝∠ADE又∴AE＝AD∵∠ABD=∠DBH，DA⊥AB，DF⊥BF∴AD＝DF∵AH⊥BC，DF⊥BC∴AE∥DF∵AEDF，∴四边形ADFE为平行四边形又∵AD＝DF∴四边形ADFE为菱形例4．已知一张矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＞AB.如图所示，将纸片沿EF折叠，使顶点A与C重合．（1）试证，四边形AECF是菱形（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a2，求此矩形的周长．分析：由轴对称性，易知AF＝FC，AE＝EC．又由ABCD为矩形，知∠AFO＝∠OEC，所以∠OEC＝∠OFC，所以EC＝FC证明（1）由已知得△AEF与△EFC关于EF所在的直线对称：∴AF＝FC，AE＝EC，∠AFO＝∠CFO又∵ABCD为矩形∴∠AFO＝∠OEC∴∠OEC＝∠OFC∴EC＝FC即四边形AECF为菱形解（2）由S△EFC=a2，AB＝a得EC＝2a在Rt△ECB′中，EB′＝EB＝22BCEC=22)2(aa=3a，所以BC＝BE+EC=a3+2a=(2+3)a，所以周长为（6+23）a中考练兵1．如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则对角线BD的长等cm.解：∵四边形ABCD为菱形∴AB＝AD＝DC＝BC＝41×20＝5cm∵AD∥BC∴∠A+∠ABC＝180°设∠A＝a则∠ABC＝2a，∴a+2a＝180°∴a＝60°，2a＝120°∴△ABD为等边三角形∴BD＝AD＝5cm故应填5cm.2．已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为cm.解：菱形的面积=21ab其中a＝12cm则b＝5cm应填5cm．3．如图在菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BC：AC的值等于（）A．3:2B．3:3C．1:2D．1:3解：BD：AC＝D0：AO设OD＝a，因为∠DAB＝60°所以∠DA0＝30°，所以DA＝2a，所以OA=22ODAD=a3即BD：AC＝OD：OA＝a：a3=3:3故选B．4．已知，如图四边形ABCD为菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：∠AFD=∠CBE证明：∵四边形ABCD为菱形∴BC＝CD，CD∥AB，∠BCA＝∠DCA∴△CBE≌△CDE∴∠CBE=∠CDE∵∠CDE=∠AFD∴∠AFD=∠CBE5．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为.解：由菱形的性质可知，边长=2243=5应填5随堂演练一、填空题1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为，周长为.2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为，，，.3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为.4．已知在菱形ABCD中，E，F是BC，CD上的点，且AE＝EF＝AF＝AB，则∠B=.5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是.6．已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为.7．已知菱形ABCD中AE⊥BC，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为.8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为形．二、选择题1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且对角相等C．对角线互相垂直D．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角2．菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（）A．相等B．互相垂直且不平分C．互相平分且不垂直D．垂直且平分3．已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=34AC，则菱形的面积为（）A．96cm2B．94cm2C．92cm2D．90cm24．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（）A．60°B．90°C．120°D．150°5．菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对边平行且相等6．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．邻边相等的四边形为菱形7．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角相等且互补B．对角线互相平分C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。5．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE是菱形．6．已知：如图，四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形．参考答案一、填空题1．13，522．100°,80°,100°,80°3．2214．80°5．10cm点拨：两邻有为60°，120°，边长为10，两边和较短的对角线组成等边三角形．6.40cm7．60°8．矩形二、选择题1．D2．D点拨：△ACD是等边三角形3．A4．D点拨：画出图形即可求解5．B6．C7．A8．A三、解答题1．证明：如图(1)1所示，连结FD，在菱形ABCD中,AC平分∠BCDCD＝CB∴∠DCF＝∠BCF∵FC＝FC∴△DCF≌△BCF（SAS）∴∠FDC＝∠CBFDF=BF∵BF＝DE∴DF＝DE∴∠DFE=∠E∵AE∥BC∴∠E=∠CBF∴∠DFE=∠FDC∴DH＝HF点拨：欲证DH＝HF，在同一个三角形中，只要两对角相等，从而连结DF，证∠DFH≌∠FDH，因AC平分∠BCD得证∠BCF≌∠CDF，代换出BF＝DE＝DF，转成角相等即可证．2．证明：∵四边形ABCD是菱形∴AC平分∠BAD（菱形的对角线平分一组对角）又∵AC⊥EF∴APM≌△AEM∴AP=AE又∵AE=21AD且AD＝AB∴AP=21AB即AP＝PB∠F＝∠AEP，∠BPF＝∠APM∴△APE≌△BPE∴EP＝FP即AB与EF互相平分点拨：证明时先审题，菱形的每一条对角线平分一组对角，并把菱形分成全等的等腰三角形和直角三角形，所以有关菱形的一些问题可以应用角平分线，等腰三角形、直角三角形的知识来解答．3．解：菱形的面积为：底×高，故24÷5＝4．8cm，即高为4．8cm，即一组对边之间的距离为4．8cm.4．解，由BD＝2DE只有∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝60°，∠ADE＝30°，故AE=21AD＝2，DE＝3222AEAD，所以SABCD＝AB·DE＝835．证明:∵四边形ABCD为平行四边形∴AE∥FC∴∠CAE＝∠ACF又∵OF＝OE∴△AOE≌△COF∴AEFC四边形∴AFCE是平形四边形又∵AE＝EC∴四边形AFCE是菱形点拨：先证△AOE≌△COF，则有AEFC，故四边形AFCE为平行四边形．6．证明:E，F是△ABC的边AB，BC的中点∴EF21AC同理可得GH21AC,FG21BD∴EFGH∴四边形EFGH为平行四边形∵EF=21AC∴FG＝21BD∵AC=BD∴EF＝FC∴□四边形EFGH为菱形点拨：此题中含众多的中点条件，很自然联想到三角形的中位线定理得EF21AC，GH21AC，则有EFGH得□EFGH，只需证明EF＝FG，考虑到EF=21AC，FG=21BD，而AC=BD，从而有EF=FG，即可得证.