华理概率论习题3答案

概率论与数理统计作业簿（第三册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第七次作业一．填空题：1.的分布列为:1234P1102515310则E2.7。2.的分布列为:-101212P13161611214则E13，(1)E23，2E3524。二．选择题：1.若对任意的随机变量X，EX存在，则))((EXEE等于（C）。A．0B．XC．EXD．2)(EX2.现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为（C）（A）6.5（B）12（C）7.8（D）9三．计算题1.设随机变量X的概率密度为21101()10xxfx，，其他其中1，求EX。解21111110011111011EXxxdxxdxx2.设随机变量的概率密度函数,0(=0,0xexpxx）求2,(2),()EEEe。解01,xExedx(2)22,EE22204()()13xxEeEEeeedx。3.一台机器由三大部件组成，在运转中各部件需要调整的概率分别为0.1，0.2和0.3。假设各部件的状态相互独立，用表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望。解设Ai=｛第i个部件需要调整｝（i=1,2,3），则P(A1)=0.1，P(A2)=0.2，P(A3)=0.3。所以123(0)()0.90.80.70.504PPAAA，123123123(1)()()()0.389,PPAAAPAAAPAAA123123123(2)()()()0.092,PPAAAPAAAPAAA123(3)()0.006.PPAAA从而00.50410.38920.09330.0060.6E。4.设球的直径均匀分布在区间[a,b]内，求球的体积的平均值。解设球的直径长为,且[,]Uab,球的体积为,与直径的关系为3432,那么,332234()()326624baxababEEEdxba.第八次作业一．计算题1．对第七次作业第一大题第2小题的，求D。解22235197()()24372DEE，97(13)98DD。2．上次作业第三大题第3小题中的，求D。解222()()00.50410.38940.09390.0060.60.46.DEE3.设随机变量具有概率密度01()2120xxpxxx其它,计算D。解12331220101()()(2)()133xxExpxdxxxdxxxdxx，12434122222010127()()(2)()4346xxxExpxdxxxdxxxdx，221()()[()]6DEE。4.设随机变量仅在[a,b]取值，试证2,2baaEbD。证因为ab,所以aEb.又因为22222ababababbaab22baab，2.22abbaDE5.已知某种股票的价格是随机变量，其平均值是1元，标准差是0.1元。求常数a，使得股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%.解已知1,0.1ED，由契比雪夫不等式20.01{|1|}Paa，令20.010.1a，得0.32a。6.设随机变量的概率分布为1()(1),1,0,12xxaPxax其中0a1。试求：D，||D。解(1)0(1)10,22aaEa2222(1)0(1)1,22aaEaa所以22()DEEa。又22,EaEEa，故22()(1)DEEaa。第九次作业一．填空题1.在相同条件下独立的进行3次射击，每次射击击中目标的概率为23，则至少击中一次的概率为（D）。A.274B.2712C.2719D.27262.某保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，欲求在未来一年内这1000个投保人死亡人数不超过10人的概率。用Excel的BINOMDIST函数计算。BINOMDIST（10,1000,0.005,TRUE）=0.986531_。3.运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为4的泊松分布，用Excel的POISSON函数求进入仪器舱的粒子数大于10的概率。POISSON（10,4，TRUE）=0.9972,所求概率p=_0.0028_。4.~(4)P，由切比雪夫不等式有(|4|6)P__8/9___。二．计算题1.设随机变量的密度函数是1cos,0()220,xxpx其它对独立的随机观察4次，表示观察值大于3的次数，求的概率分布。解4,Bp。设A=“观察值大于3”，则311()()cos3222xpPAPdx,所以的概率分布为：4411()(1),(0,1,2,3,4)22kkPkkk。或01234P1164166164161162.随机变量服从参数为p的几何分布，即1()(1),1,2,kPkppk（1）求()Ps，其中s是一个非负整数；（2）试证(|)()PstsPt，其中s，t是非负整数。（几何分布具有无记忆性）。解（1）111()()(1)kksksPsPkpp01(1)(1)(1)(1)sksskppppppp或者：11()1()1(1)skkPsPspp1(1)1(1)1(1)sspppp（2）({}{})()(|)()()PstsPstPstsPsPs(1)(1)()(1)sttsppPtp。3.设随机变量~(,)Bnp，已知2.4,1.44ED，求参数n和p。解因为(,)Bnp,所以2.4,6,1.44,0.4.EnpnDnpqp4.设在时间t(单位：min)内，通过某路口的汽车服从参数与t成正比的泊松分布。已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内至少有2辆车通过的概率。（提示：设t=“t时间内汽车数”,则()tPt）解:设t=“t时间内汽车数”,则()tPt,那么()()(0,1,2,)!ktttePkkk,由已知,得01()(0)0.2ln50!eP,所以0212222(2)(2)(2)1(0)(1)10!1!eePPP22242ln51(2).25ee5.在一次试验中事件A发生的概率为p，把这个试验独立重复做两次。在下列两种情况下分别求p的值：（1）已知事件A至多发生一次的概率与事件A至少发生一次的概率相等；（2）已知事件A至多发生一次的条件下事件A至少发生一次的概率为12。解设为两次试验中事件A发生的次数，则~(2,)Bp。（1）由题意知，(1)(1)PP，即(1)(2)(0)(1)PPPP得(2)(0)PP，亦即220222(1)CpCp，解得12p。（2）由条件概率公式({1}{1})(1)(1|1)(1)(1)PPPPP22(1)211ppppp，根据题意，2112pp，解出，13p。