初三数学(第5讲)一元二次方程2

1初三数学（第5讲）主讲教师：谢潮（苏州立达中学）一、本讲内容第22章一元二次方程§22.3实践与探索二、重点讲解1.列一元二次方程解应用题通过对实际问题的数量关系的探索，进一步体验方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。在解题过程中，注意几点：（1）注意挖掘题目中隐含的等量关系；（2）注意语言与代数表达式的互化；（3）注意单位问题。（4）注意检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义。2.一元二次方程的根的判别式。0方程有两个不相等的实数根。0方程有两个相等的实数根。0方程无实数根。注意：（1）根的判别式是指bac24，而不是bac24；（2）使用根的判别式之前一定要把方程变为一元二次方程的一般形式。3.一元二次方程根与系数的关系如果xx12，是一元二次方程axbxca200()≠的两根，那么xxba12，xxca12·。注意应用根与系数的关系的前提条件：（1）注意二次项系数a≠0；（2）是在有实数根的条件下，即0。三、典型例题例1.某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。2解：设工厂3月份和4月份的平均增长率为x。500110%)(16482()x().11442x11211202220220%12xxxx....().或，不合题意，舍去答：工厂3月份和4月份的平均增长率为20%。例2.如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？解：设道路宽为xm()()20322570xx解此方程，得xx12135，（不合题意，舍去）答：道路宽为1米。例3.小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。解：设这种存款年利率为x，根据题意，可得[()]()100150166xx化简，得5075802xx解得xx1211085，。x285不符合题意，舍去。所以，原题的解是x111010%。答：这种存款的年利率为10%。例4.若方程xxm2210没有实数根，求证方程xmxm2121一定有两个不相等的实数根。解：∵方程xxm2210无实数根，3∴122411210××()m解得m0而方程xmxm2121的判别式22241121484484mmmmmm××()()∵，∴，∴mmmm04804840()，即20。∴方程xmxm2121一定有两个不相等的实数根。例5.小红说，关于x的一元二次方程xmxmm223152430()，没有实数根，她说得对吗？为什么？解：∵bac24[()]()[()]314524323122222mmmmmm由于()[()]mm12012022，∴∴此方程没有实数根，∴小红说得对。例6.若关于x的方程mxx2440有实数根，求m的取值范围。解：当方程mxx2440是一元二次方程时，m应满足mm≠041602()∴mm10，且≠。当方程mxx2440是一元二次方程，即当m=0时，方程440x也有实数根。综合两种情况可知，当m1时，方程有实数根。例7.已知，关于x的方程xkxk2120()的两个实数根的平方和等于6，求k的值。解：设方程的两个根为xx12，，则xxkxxk121212，∵，∴xxxxxx122212212626()4∴解得，()()kkkk122633212又∵()()kk1422当kk303时，，所以，不符合题意，舍去。当kk303时，，所以，即为所求。例8.已知一元二次方程xx2310，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是原方程各根的倒数的平方，则所求的新方程是（）。解法1：设原方程的两根为xx12，，则xxxx121231，设新方程的两根为yy12，，则yxyx11222211()()，，∴yyxxxxxxxxxxxx121222122212221221212222112321111()()()()()()()，yyxxxx1212221222111111()()()()所以，所求方程为yy21110。解法2：设原方程的根为x，新方程的根为y。因为新方程的两根分别是原方程各根的倒数的平方，且由原方程可知x≠0，所以，yxy()102，解出x，得xy±1，代入原方程，得1310yy±为去掉根号，整理得±31yy两边平方，去根号，整理得yy21110例9.甲、乙两人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后，乙还需30分钟，才能到达A地，求乙每小时走多少千米？分析：如果设乙每小时走x千米，那么相遇前、后甲每小时分别走x千米、（x＋1）千米，由于甲、乙走过的路程相同，而时间相差30分钟。另外，相遇前甲、乙的速度相同，且同时出发，所以相遇前甲、乙各走了路程的一半，而在各自剩下的一半路程中时间相差30分钟。5解：设乙每小时走x千米，则相遇前后甲每小时走x千米，（x＋1）千米。由题意得：1010112xx解方程得：，xx1245经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去。xxx12455x4答：乙每小时走4千米。例10.解方程组：xyxy71122解法一：由得：173xy把代入得：3271202yyyy1234，把，代入得：，yyxx121234343原方程组的解为：，xyxy11224334分析：此二元二次方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，因此可以采用代入消元法求解，仔细观察这个方程组的特征，可以发现，方程1恰是两数之和等于7，方程2恰是两数之积等于12。这样，解这类方程组就转化为已知两数和与积求两数的问题了。因此，可以将x、y看作某一个一元二次方程的两个根，构造一个一元二次方程，从而得到原方程组的解。解法二：方程组中的、是一元二次方程的两个根xyzz27120解方程，得：或zz1234原方程组的解为：，xyxy11224334例11.已知方程有两个不相等的正根、，若以xmxmxx2212273110这两根作为直角三角形的两条直角边的长，则斜边为，求的值。72m分析：本题中只考虑到，和是不够的，还应考虑，，即，。xxmxxmxxxxxx1212212121227311000006解：由题意，得：xxmxxmmmxx12122221222227013110247431103724由得：4286002mmmm12230，分别代入，（舍）。12330mm2例12.有一种质量为30克的金属块，现将它切成大小两块，将较大的一块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小的一块放在天平的右盘中，称得质量为8克。若只考虑天平的臂长不等，其它因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆平衡原理，求出两块金属的质量。分析：根据物理学中的杠杆的平衡原理列出方程组进行求解。解：设较大金属块的质量为x克，则较小的质量为（30－x）克若天平左、右臂长分别为acm和bcm，由杠杆平衡原理，得：axbabx27183021282730，得：xx由比例的性质，有：xx()30827整理，得：xx2302160解得：，xx121812经检验：，都是原方程的解。xx121812由题意得，不合题意，舍去。x12当时，xx1830301812答：较大金属块的质量为18克，较小的质量为12克。本题是一道跨学科的学科间综合题，涉及了物理中的杠杆平衡原理，并且它是解本题的关键（依此列出方程）。随着教育改革的不断深化，此类题目已成为中考命题的热点题型。巩固练习7一、填空题（1）若方程xaxb20有两个相等的实数根，则a、b间的关系是__________。（2）一元二次方程3502xxc的根的判别式的值等于37，则c＝__________。（3）已知关于x的方程mxmx224140()有两个实数根，则m的取值范围__________。（4）某商场去年的营业额为m万元，今年预计比去年增长20%，则今年的营业额为__________。（5）从一块正方形的木板上，锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48m2，则原来木板的面积为______（6）已知xx12，是方程xx2210的两个根，则1112xx等于__________。（7）方程xkx250的一个根是1，则另一个根是__________，k＝__________。（8）以322322，为根的一元二次方程是__________。二、解答题（1）一块矩形的地，长是24m，宽是12m，要在中央划出一块矩形的花坛，四周铺上草皮，其宽都相同，花坛占大块矩形面积的59，求草地的宽。（2）某化肥厂今年1月份的化肥产量为4万吨，第一季度共生产化肥13.24万吨，问2月份和3月份平均每月的增长率是多少？（3）k取什么实数时，关于x的方程()()kxkxk127102有两个相等的实数根。（4）求证：关于x的方程()kxkxk2221240没有实数根。（5）已知非零实数a，b满足aabbabba221010，，则的值是多少。（6）若关于x的一元二次方程xxk2230的两根的平方和小于6，求k的取值范围。参考答案一、填空：8（1）ab24；（2）1；（3）mm180且≠；（4）65m万元；（5）642m；（6）－2；（7）5，－6；（8）xx2610二、解答题（1）解：设草地的宽为xm，则有()()242122592412xx××解得xx12162()不合题意，舍去，答：草地的宽为2m。（2）解：设2，3月份平均每月的增长率为x4414113242()().xx解得：，xx120131..（不合题意，舍去）答：2，3月份平均每月增长率为10%。（3）简解：∵方程有两个不相等的实数根。∴[()]()()2241102kkk，解得k257。（4）简解：∵42022()m所以方程没有实数根。（5）简解：由题意，a、b是方程xx210的两根∵14102×，∴、不相等ab9∵，，∴×abababbaababababab112121132222()()()（6）简解：设方程两根为xx12，∵∴∵，∴×xxxxxxxxxxkk12221221212122626232236()()∴k2