初三数学存在性等腰三角形

初三数学（存在性等腰三角形）一、为什么要分类讨论当研究的问题包括多种情况，不能一概而论时，要分别讨论每一类情形的特征，不漏不重的得出每一种情况下的结论，即所谓的分类讨论。1、如：在△ABC中，已知AB=AC=5BC=3求：△ABC的周长因为情况唯一，所以不需要讨论，求得L=132、如：已知等腰三角形△ABC的一边长AB=5，另一边长BC=3求：△ABC的周长因为情况不唯一，所以需要分类讨论(1)当AB为腰时，AB=AC=5BC=3L=13(2)当AB为底时，AB=5BC=AC=3L=11｝二、怎样讨论一般可分为角不固定和边不固定两种1角不固定，分两步①设某一角是底角②再设它是顶角例已知等腰三角形的一个内角是另一内角的2倍，求三角形的各个内角的度数。①设这个内角是底角设这个内角为x度则有2x+21x=1800解得：x=720所以三角形的三个内角分别是720720360②再设它是顶角设这个内角为x度则有x+2（21x）=1800解得：x=900所以三角形的三个内角分别是9004504502、边不固定分两步①设某一边是底，②再设它是腰例1、已知如图A(2,0)B(0,3),，在X轴上找一点C，使得△ABC为等腰三角形，分析：因为线段AB是△ABC的底还是高不确定，所以要分别讨论它的各种情况，①设AB是底（AC=BC）（做线段AB的中垂线）②再设它为腰(1)（AB=AC1AB=AC2）以A为圆心，以AB的长为半径画弧，交x轴于C1C2两点，得到两个等腰三角形△ABC1△ABC2(2)（AB=AC3）以B为圆心，于C3点，得到等腰三角形△ABC3以AB的长为半径画弧，交x轴所以，本题共有四个解，练习1、已知点A、B关于y轴对称，AB=3，OD=2在x轴上找一点c，使得△ABC为等腰三角形，画出草图，指出符合条件的C的个数2已知在平面直角坐标系中，直线y=-3x+23与x轴y轴分别相交于点A、B，在坐标轴上找一点c，使得△ABC的底角为300且以AB为边的等腰三角形求：画出草图，指出符合条件的C的个数3、如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，4、在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CM∥x轴（如图所示）。点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B且与直线CM相交于点D，连接OD。（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；二、运动中的等腰三角形1、在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P点开始运动时，Q点也同时从C点出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，用含有t的式子表示PM、QM的长，（3）若P、Q两点开始运动后，有几个时刻能使得以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）。2、如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求：运动时间t的值；(2)用含有t的式子表示AE的长，(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？（一）AH=AO（二）AH=HO（三）AO=HO3、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN。①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？为什么？②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，有哪几种可能情况？4、如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3DC=5AB=42∠B=450，动点M从点B出发沿线段BC以2个单位长度每秒的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发沿线段CD以1个单位长度每秒的速度向终点D运动，设运动的时间为ts（1）求BC的长（2）（3）（2）用含有t的式子表示MC、NC的长，（4）（3）在两点的运动过程中是否存在某一时刻t，使得（5）△MNC为等腰三角形,如果存在请求出t的值教育—初三数学（等腰三角形的计算）一、【开篇有益】等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。解直角三角形最常用的方法有两种⑴勾股定理（2）三角函数例如图已知，A（0,4）B（3,0）求：sin∠Bsin∠Acon∠Bcon∠Atan∠Btan∠AAB及OC的长【典题1分析】已知如图，一次函数y=34x+4与x轴y轴分别相较于A、B两点，在y轴上是否存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，【解题分析】由上节课可以求得，在y轴上存在四个满足条件的点，⑴以AB为底时做AB的中垂线DC，D为垂足，交y轴与C由已知可得，A（-3,0）B（0,4）AB=5在三角形ABC中，∵con∠B=54BD=21AB=25∴BD/BC=con∠B=54∴BC=825∴OC=4-825=87∴C(0,87)（2）以AB为腰时①以A为圆心，以AB的长为半径画弧，交y轴与C因为三角形ABC是等腰三角形，所以OB=OC=4所以C（0，-4）②以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交y轴与C因为三角形ABC是等腰三角形，所以可得C（0，-1）或C（0,9）【变型训练】1、在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1,0），点C的坐标为（0,4），直线CM∥x轴（如图所示）。点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B且与直线CM相交于点D，连接OD。（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；【解题方法归纳】等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。勾股定理、三角函数是最有利的工具，【典题2分析】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝23，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速动动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速动动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧，设动动的时间为t秒(t≥0)．(1)当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；(2)用含有t的式子表示AE的长，(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)略(2)AE=3－t或t－3．(3)存在，理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB＝BCAB=33，∴∠CAB=30°．又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°．∴AE=HE=3－t或t－3．（ⅰ）当AH=AO=3时，过点E作EM⊥AH于M，则AM=12AH=32．在Rt△AME中，cos∠MAE＝AMAE，即cos30°=32AE，∴AE=3，即3－t=3或t－3=3，t=3－3或3＋3．（ⅱ）当HA=HO时（如图③），则∠HOA=∠HAO=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°．∴EO=2HE=2AE．又∵AE＋EO=3，∴AE＋2AE=3．∴AE=1．即3－t=1或t－3=1，t=2或4．（ⅲ）当OH=OA时（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，∴∠HOB=60°=∠HEB．∴点E和O重合，∴AE=3．即3－t=3或t－3=3，t=6（舍去）或t=0．综上所述，存在5个这样的值，使△AOH是等腰三角形，即：t=3－3或t=3＋3或t=2或t=4或t=0．【【变型训练】·1、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x①当点N在线段AD上时（如图1），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出它的周长。若改变，请说明理由，②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值，若不存在，请说明理由，【解题方法归纳】①等腰三角形的计算问题的基本思路是，将其转化为解直角三角形的问题来解决。勾股定理、三角函数是最有利的工具，②关于运动中的等腰三角形的计算问题，首先要用含有要求的未知数的字母表示线段的长，再运用上面的方法解决。【典题3分析】如图，抛物线与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标(1)略：解析式；y=-21x2+x+4(2)解：由（1）可知，抛物线的对称轴是x=1（以BC为腰时）BC=25为半径画弧，交对称轴于C1C2①以C为圆心，以过C做CM⊥对称轴，垂足为M，由勾股定理可得MC1=MC2=19∴C1（1，4+19）C2（1,4-19）BC=25为半径画弧，交对称轴于C3C4②以B为圆心，以由勾股定理可得∴C3（1，11）C4（1,11）MC13=MC24=11（以BC为底时）M，交x轴于N，解直角三角形BMN，BM=5做BC的中垂线MN垂足为con∠B=522=55可得BN=5∴N（3,0）过点M作MQ⊥x轴，垂足为Q∴con∠B=BMBQ=55BM=5∴BQ=1∴MQ=2∴M（-1,2）∴过MN的直线的解析式为y=-21x+23当x=1时，y=1∴C5（1,1）综上所述，满足条件的点有五个，C1（1，4+19）C2（1,4-19）C3（1，11）C4（1,11）C5（1,1）【解析法】本题还可以用解析法来解用解析法解题一般分如下几步：①找点的坐标②用两点间的距离公式分别计算三边的长③用两边两两相等列出方程，④解方程的结果解：略【变型训练】1、上页例题1用解析法解2、上页练习用解析法解教育—初三数学（关于平行四边形、梯形直角三角形的解法）一、【开篇有益】因为梯形的特性是两底平行，所以在解决梯形问题时分两步，(1)判断哪条线段做底，(2)根据平行线的特性解决问题，例1、如图：二次函数y=-x2+23x+1的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．【典题分析、详解】（1）略△ABC是直角三角形，且AC⊥BC（2）略D（23，1）（3）因为由（1）可知AC⊥BC所以四边形ACBP为直角梯形时只有两种情况①以AC、BP为底∵过AC的直线的解析式为y=2x+1又∵