协同思维的应用

1浅谈协同思维在训练学生多向思维中的应用宁波市海曙区实验学校倪岁频邮编315016新《初中数学课程标准》指出：“义务教育段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。……使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。为了培养学生的思维能力，在解答数学问题时，既要通过逻辑思维去推想问题解答途径，更重要的是要通过对图形、模型的观察、操作，从不同的方向获取直觉发散，对图表和图式作分类组合，对图形的意义作多种解释等，充分利用形象思维去培养求异思维。当逻辑思维和形象思维的结合点统一起来的时候，解题的创造性就会展现在你的面前。脑科学的研究表明，人的大脑左、右两半球具有不同的职能。大脑的左半球主管人体右半部，偏重于思维中语言的、概念的、分析的、连续的和计算的能力，还具有比右半球强得多的控制能力；而右半球则与知觉和空间有关，偏重于音乐的、绘画的、空间的形象感受识别能力。大脑两半球各司其职又互相协作。这种生理结构正是逻辑思维与形象思维协同作用的根据。《协同思维解题法》就是帮助初中学生利用人脑的各种生理机制，通过巧妙的视角去观察数学题、发现数学题的最佳解题途径。能使学生掌握在解题思维过程中如何化难为易，化繁为简，变未知为已知，变抽象为具体的本领。它将使你的解题思维得到升华，解题能力得到提高。如例一：已知：如图1，点C为线段AB上一点，⊿ACM、⊿CBN是等边三角形。求证：ANBM。分析：这是初中几何中一道普通的习题，但它的内涵与外延十分丰富。怎样指导学生进行解答呢？2首先，应该从逻辑上考虑：如何证明两条线段相等？我们知道，证明两条线段有下面一些思路和方法：1、能够重合的两条线段是相等的线段。2、长度相等的两条线段是相等的线段。3、全等三角形的对应边相等。4、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。5、等角对等边（在同一个三角形中）6、线段垂直平分线上的点到此线段两端点的距离相等。7、平行四边形的对边相等，对角线互相平分。8、夹在两条平行线间的平行线段相等。9、矩形、正方形、等腰梯形的两条对角线相等。10、菱形、正方形的四条边都相等。11、如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。12、垂直于弦的直径平分这条弦。13、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。等弧对等弦。14、从圆外一点引圆的两条切线，该点到切点的两条切线长度相等。15、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。16、两圆的两条外公切线（或内公切线）的长相等。一般的初中生证明两线段相等都喜欢通过“全等三角形的对应边相等”进行论证，对于这道题来说是可行的。逻辑上的考虑使解题明确了方向，紧接着应该从形象上进行观察：3从图象上我们发现，AN和BM分别在⊿ACN和⊿MCB中，我们把它从原图中引出来，如图1：在⊿ACN和⊿MCB中，120ACMCACNMCBCNCB∴⊿ACN≌⊿MCB（SAS）∴ANBM题目到此证完了，然而在此时，我们可以从图形的变化中引导学生进一步拓展思想。教师可提出如下问题：①这种证法是最好的吗？②你能想出别的证法吗？实际上在教师的启发下，同学们会很快找出解题的途径。前面的归纳告诉我们：“长度相等的两条线段是相等的线段”，我们可以通过计算使问题获得解决。如图3所示：设⊿ACM和⊿CBN的边长分别为a和b。过M作MDAC，垂足为D；过N作NECB，垂足为E；则32MDa，32NEb，由勾股定理可以得到：2222222322bANAEENabaabb2222222322aBMDMDBabaabb∴22ANBM则ANBM4这时用的是通过代数的角度去证明几何题的方法，有时用起来能收到独特的效果。我们还知道，“能够重合的两条线段是相等的线段”，此图象上我们发现：⊿ACN和⊿MCB有共同的顶点C，且ACMC，NCBC，ACMMCNNCB。因此我们可以采用新的思路获得一种创造性的证明方法：以C为旋转中心，将⊿ACN绕点C顺时针旋转，因为ACMC，NCBC，60ACMMCNNCB，所以这时点A与点M重合，点N与点B重合，根据“能够重合的两条线段是相等的线段”，因为AN与MB的两个端点分别重合，所以AN与MB重合，因此ANMB。很显然，通过上述三种证法，通过形象思维和逻辑思维的多次互补活动，学生数学思维将得到提高。这时，教师还可以进一步激发学生的思维活动，给自己提出新的问题：“图中还有别的全等三角形吗？”这样一来，又把原题转化为了一个开放性的探索题。这类题条件是已知的，结论是需要自己去发现的，有的还不是唯一的。这类题富于创造性，有助于调动你的学习积极性，激发学生的求知欲和进取精神，培养学生对问题的探索能力和解决问题的能力。由此可以证明，图4中还有2对全等三角形：⊿CBG≌⊿CNF，⊿ACF≌⊿MCG。从图象的观察中，教师还可启发学生作一个猜想：FG∥AB。要知道这个猜想是否正确？就必须通过论证去判断它。静止是相对的，运动是绝对的。让我们通过运动的观点深入一步去探索新的问题。1、将⊿CNB绕点C顺时针旋转60，120，180，任意一个角度时，AN和BM相等吗？为什么？（见图5）52、如果将⊿ACM绕轴AB翻折，以CB、CM为邻边作平行四边形BCMD，求证：ANBM，ADND，并证明⊿ADN是等边三角形（见图6）。从形象上观察，可以通过⊿ACN≌⊿BDM（SAS）去证明ANBM；又可以通过⊿AMD≌⊿DBN（SAS）去证明ADND；要证⊿ADN是等边三角形可以先证四边形AMDB是等腰梯形，从而得出ADBM，但ANBM，因此ADDNAN，故⊿ADN是等边三角形。3、如图7，如果C为线段AB外一点，⊿ACM、⊿CBN是等边三角形，求证：①ANBM；②若AN、BM相交于E，求NEB；③连结CE，求证：CE平分MEN。分析：通过“构形”使我们的思维得到升华，难度也相应加大了。世上无难事，只要肯攀登。我们应该迎难而进，夺取新的胜利。通过对图7的观察，我们发现：⊿ACN≌⊿MCB（SAS），因此ANMB。要求NEB的大小，从图7看NEBNCB，这是否正确呢？由⊿ACN≌⊿MCB可知ANCCBM，所以N、C、E、B四点共圆，故60NEBNCB，同理可知60CENCBN，60CEMCAM，故CE平分MEN。当我们认真回顾例题的整个解题中的层层变化，不难获得“协同思维解题法”的精华：即“析形引思、变形扩思、构形创思”，而这一切正是每位数学教师必须要遵循的教学原则。