刚体习题课.

FrMMFrtrFM1．2.定轴转动刚体的内力矩和为零转动定律3．M＝Jβ其中J＝∑miri2为转动惯量dmrJ2质量连续分布的刚体J＝JC＋md2。CdmJCJ平行4．力矩的功:21MdA221JEk5．转动动能:21222121JJ21Md6．动能定理2222112121JmghJmghcc7．机械能守恒JL8．刚体的角动量（动量矩）：12)()(JJLLdLMdttLL12021角动量定理：,0M若21)()(JJ即.常量则L角动量守恒定律：1.两个均质圆盘A和B的密度分别为A和B，若AB，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为JA和JB，则（A）JAJB（B）JBJA（C）JA=JB（D）JA、JB哪个大，不能确定。[B]课堂练习2.一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的[C]（A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒;（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.3.有一半径为R的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J，开始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为02mRJJ4.光滑的水平桌面上,有一长为2L、质量为m的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为mL2/3,起初杆静止,桌面上有两个质量均为m的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率v相向运动,当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为:mvoovmLLLv32Lv54Lv76Lv98（D）[C]（A）（B）（C）以顺时针为转动正方向两小球与细杆组成的系统对竖直固定轴角动量守恒由Lmv+Lmv=2mL2+JJ=mL2/3及可知正确答案为mvoovmLL作业：P19.5人：m=75kg，转台：J=3000kgm2,R=2m，初始，系统静止；人沿转台边缘行走，v=1m/s,在转台上行走一周所用的时间？解：人和转台系统，外力矩为0，角动量守恒10JmRvRv2122T)1(222JmRs11405.如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为m的水平桌面上,设开始时杆以角速度0绕过中心o且垂直与桌面的轴转动,试求:olm,0m（1）作用在杆的摩擦力矩;（2）经过多长时间杆才会停止转动。若绕一端转动会如何呢？rgdmdMm)1(解：rgdrlmmrdrlmm2/02lrdrlmdMMmmglm41olm,0m由角动量定理：)2(00JJJtMMJt0mgl30lrdrlmdMM0mmglm21有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点的转动惯量为J=(1/3)m1l2）v1AOv2m2m1典6.v1v2rgdmdMm解：rdrlmmlrdrlmdMM0mmglm21碰撞瞬间，角动量守恒lvmJlvm2212由角动量定理：JMdtt00gmvvmt1212)(2m6、一飞轮以角速度0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。啮合后整个系统的角速度.(1/3)0利用J1o=(J1+2J1)一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体(m1m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力[C]o1m2m(A)处处相等.(B)左边大于右边.(C)右边大于左边.(D)无法判断.均匀细棒oA可绕通过其一端o而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?(D)角速度从大到小,角加速度从小到大.(C)角速度从大到小,角加速度从大到小.(B)角速度从小到大,角加速度从小到大.(A)角速度从小到大,角加速度从大到小.[A]oA一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴o以角速度按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度[A]FOFO（A）必然增大;（B）必然减少;（C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。质量为m、长为l的均匀细棒，从静止开始由a30的角位置绕O点在竖直平面内自由转动，O点离B端的距离为l/3，如图所示。松手后，求棒在水平位置时的角速度和角加速度.OABCCalglg2323aA2BBAA2AAABargrr)a(grmJam半径分别为rA和rB的圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量为J，两圆盘边缘都绕有轻绳，绳子下端分别挂有质量为mA和mB的物体A和物体B，如图所示。若物体A以加速度aA上升，证明物体B的质量A●BOrArB。已知：均匀直杆m，长为l，初始水平静止，轴光滑，AOl4求:杆下摆角后，角速度?初始：令末态：则：(1)解：杆+地球系统，∵只有重力作功，∴E守恒。0)4(212sinlmgJO01kE01pE2221OkJEsinlmgEP42由平行轴定理(2)2mdJJCOlsing762由（1）、（2）得22)4(121lmml2487ml(1)0)4(212sinlmgJO如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑轴在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l/3和2l/3。原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的v0/2水平速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。15：阿特伍德机（如图），求绳中张力T1T2m1gm2gm1m2m3rT1T2解：对m2（质点）：对m1（质点）：T2-m2g=m2am1g–T1=m1a对m3（刚体）：(T1-T2)r-Mf=Jβ辅助关系：a=Rβ滑轮视为圆盘。2321rmJ16.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为JA=10kgm2和JB=20kgm2。开始时，A轮转速为600revmin-1，B轮静止。C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计。A、B分别与C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合，B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：（1)两轮啮合后的转速n；（2)两轮各自角动量的变化量。)(BAAAJJJ(1)AAAtAJJMdt0(2)BtBJMdt0J1o=(J1+J2)18.(1)角动量守恒21'lmJ22121mlJ.lmmmvol=(J1+J2)21、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。chch’h=3h0/2bamlhol解:碰撞前单摆摆锤的速度为002ghv令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v＇。由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:lvvv23,200二式联立解得：2031mlJ,Jvmlmlv式中①2220212121Jvmmv②按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为40hh而杆的质心达到的高度满足2320hhhc由此得cmghJ221典型例1.一轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M/2的重物,如图。已知滑轮对o轴的转动惯量J=MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度？AB解：受力分析如图由牛顿第二定律MaTMg2:人MaMgBT2121:1①②RM241:对滑轮由转动定律RTT)(12③Ra:附加④ABT1MgMg41aT2a由题意a人=aB=a联立①②③④求解ga72rgdmdMm解：2.rdrdm2ldrrRmgdMM0222mmgRm32000JMdtt221mRJMJt02021tt2021JA动能定理:0MdMA3.长为l质量为m匀质细杆可绕通过其上端的水平固定轴O转动，另一质量也为m的小球，用长为l的轻绳系于O轴上，如图。开始时杆静止在竖直位置，现将小球在垂直于轴的平面内拉开一定角度，然后使其自由摆下与杆端发生弹性碰撞，结果使杆的最大摆角为/3，求小球最初被拉开的角度。,3120mlvmlmlv)cos1(2120mglmv22220)31(212121mlvmmv)3cos1(2)31(2122lmgmL5.角动量守恒:)2(222202tmuRMRMttdtMRtmudt02220021222021MRtmu21210)/2(arctan)/2(MmRMmRmm6.有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点的转动惯量为J=(1/3)m1l2）v1AOv2m2m1典例6.rgdmdMm解：rdrlmmlrdrlmdMM0mmglm21碰撞瞬间，角动量守恒lvmJlvm2212由角动量定理：JMdtt00gmvvmt1212)(2mv1AOv2m2m1例7、一长为1m的均匀直棒可绕其一端与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向上与水平面成60°。然后无初速的将棒释放。已知棒对轴的转动惯量为(1/3)ml2。其中m和l分别为棒的质量和长度。求（1）放手时棒的角加速度。（2）棒转到水平位置时的角加速度即角速度。XO60°mg(1)mg(l/2)cos60°=Jβ1(2)mg(l/2)=Jβ20260sin2121mglJ作业2一个质量为Ｍ、半径为r的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下落的加速度。Mg解：1maTmg1aJRT＝规定顺时针方向为转动正方向竖直向下为平动正方向辅助关系：aRa221MrJ＝对质点（m）：对M(刚体)：Jmrmgra22解方程得：amTgm111amgmT222aJrTT)(21araMm1m2T1T1aaam1gm2gT2T2Jrmmgrmm22121)()(ata3.4.一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将