单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究

单摆周期公式及影响单摆周期的因素研究摘要：结合理论知识，基础物理实验，构建线性数学模型。对单摆运动进行分析。其中，理论部分主要依据高等数学及数学物理方法的知识，对单摆运动周期公式进行论证；实验部分主要通过改变单摆摆线长度进行实验；观察、分析单摆运动规律。从而验证单摆周期公式。并对影响单摆周期的因素展开研究。最后总结出影响单摆周期的因素。关键词：数学模型；单摆运动；周期公式单摆运动问题是一个古老的问题，无论是中学物理还是大学物理，我们都在学习研究单摆。作为一个重要的理想物理模型，单摆的运动周期规律和实验研究在生产生活中意义重大。单摆问题是物理学中经典问题。从阅读物理学史并可知道，早在1583年，十九岁的伽利略（1564—1642）在比萨教堂祈祷时注意到因被风吹而摆动的大灯，他利用自己的脉搏来测定大灯的摆动周期，发现了摆的等时性。但现在这个故事的真实性受到怀疑,因为比萨大教堂所保留的许多相关历史文献都表明该吊灯是在伽利略二十三岁那年才首次安装的。专家指出，伽利略是于1602年注意到单摆运动的等时性，不过伽利略误认为在大摆动条件下等时性也成立，他说：“物体从直立圆环上任一点落到最低位置的时间相同。”随后吉多彼得做实验发现这个结论与实验不符，伽利略解释说可能是由于摩擦力。伽利略从实验中得出单摆周期与摆长的平方根成正比。他还指出周期与摆球质量无关。他说：“因此我取两个球，一个是铅的而另一个是软木的，前者比后者重100多倍，用两根等长细线把它们悬挂起来、把每一个球从铅直位置拉到旁边，我在同一时刻放开它们，它们就沿着以这些等长线为半径的圆周下落，穿过铅垂位置，并且沿同一路径返回。”最早系统地研究单摆的是惠根斯（ChristiaanHuygens）。由于当时实验技术条件的落后，重力加速度在惠根斯之前是很难精确测出来的，所以惠更斯不可能从实验中总结出或猜出单摆周期公式的系数2。事实上，反过来重力加速度是1659年惠更斯根据单摆周期公式首次精确测出来的。他在巴黎用一个周惠更斯期为2s的单摆(即秒摆)，测出摆长为3.0565英尺，从而计算出2/2.9sg。惠更斯于1657年取得了关于摆钟的专利权。惠更斯最伟大的著作《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》于1673年在巴黎问世。这本书共分5部分，第一与或第五部分讨论时钟，第二部分讨论质点在重力作用下的自由落体运动以及沿光滑平面或曲面所作的约束运动，并证明了在大摆动下约束在旋轮线上的物体等时降落的性质，第三部分建立渐屈线理论，第四部分解决了复摆问题。这是人类第一次系统地研究约束运动的论著。1659年，在对单摆的研究中，他导出了摆动周期和沿着摆的长从静止开始的自由落体时间之间1mgsinmgcosmg的关系。他发表在《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》第四部分的结果[1]，相当于glT2在推导过程中，惠更斯使用了一个忽略周期与摆幅相关性的一个近似。这样引入的误差在小的摆幅下可以忽略中学物理中与惠更斯有关的内容还有弹性碰撞理论、向心力理论、光的波动说。从方法上看，惠更斯沿着伽利略开创的实验与逻辑推理相结合的道路继续前进。和伽利略在物理研究中所采用的相对简单的数学工具相比较，惠更斯把无穷小几何方法带进了力学领域。单摆是伽利略科学研究活动的起点,此外,单摆与自然哲学中一个历史悠久的主题。通过参阅前人研究成果，基于普通物理实验，本文将对单摆运动周期公式规律及影响单摆周期的因素展开研究。1单摆运动学公式单摆作为一种理想的模型，我们研究的单摆问题是在地球表面附近的情况。简单复述如下。如图1所示,设摆球质量为m，半径为r，悬挂点O到小球质心的长度为l（摆线长），且地球Rlr摆球所受地球引力视为恒力mg，且切向力sin-mgF切它总是指向平衡点，在小球开始左右摆动时其运动学方程为tFmgrlmlDcossin'''，或tmlFmrDcossin02'''图1单摆受力分析Figureonependulumstressanalysis其中，θ、'''和分别表示小球的角位移、角速度和角加速度，r为阻力常数，lg0为固有角频率。引入lg0，20m，20ml作为新的基本量纲以代替原来的M，L，T量纲，则方程中各个量可以改写成02mr，mgFmlFf20，0d由此可得到描述单摆运动的无量纲化微分方程为：tfdtddtdcossin2222其中，tf,,,都是无量纲物理量，也就是纯数。验证如下，以方括号表示原来的量纲。1100TT，110TTd，110MTMTmr，22MLTMLTmgF2单摆运动特点判定[2]众所周知，弹簧振子振动是围绕着平衡位置作周期性运动，其运动规律符合简谐运动，而单摆运动规律与其相似。目前，判别一个振动系统是否作简谐振动，常用的简谐运动的判断依据：kxf（1）020''xx（2）)cos(0atAx（3）（1）式中f是振子受的反向的与其位移x成正比的线性回复力；（2）式是振子运动微分方程；（3）式说明振子的位移可以用时间的余弦函数表示。在力学中，做简谐振动的系统振子一定受线性回复力kxf的作用，并且该力必须是保守性质的力。简谐运动的本证特征：首先做简谐振动的系统必须具有动能和势能，二者相互转化，总机械能守恒。动能和势能缺一不可，一个周期内动能和势能的平均值相等。简谐振动缺少势能是不允许的。其次振动所受的回复力应是系统的保守内力，系统才具有相关的势能。第三，线性回复力总是指向稳定的平衡位置。以上分析可以得出做简谐振动的两个特点：1）受保守力的线性回复力；2）振动系统的机械能守恒。[3]在如图（1）的单摆系统中根据牛顿第二运动定律，若视小球为质点（lr），质点的运动学方程为：sinmgmg切sin22mgdtdmlsin22lgdtd当θ取很小值时（05），则sin，上式则为，lgdtd22。3至此，根据简谐振动的本证特征及判断依据可判定单摆运动时简谐运动。3单摆周期公式求解[4]以上已经判定出单摆运动是简谐运动。接下来根据高等数学的积分知识求解单摆运动的周期公式。令单摆振动的角频率ω的平方等于lg/，即lg2，则0222dtd。由此可得出：22TT，利用高等数学积分公式对0222dtd积分得：20202sin2sin14dT2020201sin2sin12/dTTR（4）式(4)就是所求的单摆运动周期的精确解.虽然该式是第一类椭圆积分,无法用初等函数精确计算,但|sin22•sin2|1,可用二项式定理将被积函数展开成幂级数,再逐项积分便得2sin42312sin2112042022TT=30721116122002（5）式(5)是摆角小于等于2(即0090)的任意角度的周期计算公式.[5]当0非常小时,005,020,略去20以上高次方项得2T。将ω=lg带入即可得出单摆周期公式：glT2（6）4单摆周期公式的实验验证[7]经过上面几步我们已经从理论角度求解出了单摆周期公式，接下来从实验角度验利用基础物理实验通过作图法证单摆周期公式。由第三步单摆周期公式解4glT2可知：单摆周期和单摆的摆线长度l以及当地的重力加速度g有关。将（6）式等号左右两边同时平方得：glT224（7）在同一地点同一单摆重复做单摆实验我们认为重力加速度g是常量，根据上式（7）式可以构建合理的数学模型kxY，其中2TY，gk24。在其他条件都相同前提下改变一个单摆的摆线长度，测量出不同的周期值T，求出对应的Y。在直角坐标纸上画出LT2图像，若图像中LT与2成正比关系，则可以说明单摆周期公式正确。将（6）式等号左右两边同时取对数得：)ln21(ln212ln2lnlnglglT（8）在同一地点同一单摆重复做单摆实验时，我们认为重力加速度g取有相同的值是个常量，根据上式（8）式可以构建合理的数学模型bkxY，其中b是常量（gbln212ln）。在其他条件都相同前提下改变一个单摆的摆线长度，测量出不同的周期值T以及摆线L，求出对应的T和L的对数。在直角坐标纸上画出对应的图像，求解出数学模型bkxY的系数k若21k则单摆周期公式成立。表1单摆周期实验数据表Table1Experimentaldatasheetpendulumcycle项目\序号12345678摆长)(mL0.9551.0891.1861.3331.4101.5301.5891.73周期)(sT1.9772.1112.2032.2342.402.5012.5502.6602T（2s）3.9094.4564.8535.4575.7646.2556.5037.076Tln0.6820.7470.7900.8480.8760.9170.9360.978Lln-0.0460.0860.1740.2870.3440.4240.4640.5485根据上表得出的数据利用matlab曲线拟合最终作图如下图2LT2关系图FiguretwoLT2diagram运用matlab拟合得出的方程为：0085.00843.42lTMatlab程序代码：clear,clc,closeall,formatshortx=[0.955,1.089,1.186,1.333,1.410,1.530,1.59,1.73];y=[3.909,4.456,4.853,5.457,5.764,6.255,6.503,7.076];a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',25);holdonxp=0.8:0.01:1.78;yp=polyval(a,xp);plot(xp,yp,'linewidth',2);title('LT2关系图','fontsize',10);xlabel('L','fontsize',10);ylabel('T^2','fontsize',10);gridon6图3LTlnln关系图FigurethreeLTlnlndiagram运用matlab拟合得出的方程为：7043.0ln4997.0lnLTMatlab程序代码：clear,clc,closeall,formatshortx=[-0.046,0.086,0.174,0.287,0.344,0.424,0.464,0.548];y=[0.682,0.747,0.790,0.848,0.876,0.917,0.936,0.978];a=polyfit(x,y,1)plot(x,y,'.r','markersize',25);holdonxp=-0.1:0.001:0.6;yp=polyval(a,xp);plot(xp,yp,'linewidth',2);title('lnT-lnL关系图','fontsize',10);xlabel('lnL','fontsize',10);ylabel('lnT','fontsize',10);gridon结论：通过实验及数据处理，可知，由（6）式变换出来的（7）式绘制的LT2图成正比关系说明（6）式单摆周期公式正确，由（6）式变换出来的（8）式绘制的Tln—Lln图成正比关系、不过原点且斜率等于0.5可说明（6）式单摆周期公式正确。75影响单摆周期的因素[8]通过实验可以明白理论和实际总是有着一定的差距，不论是通过LT2的关系还是Tln—Lln关系最终都只是近似的得到理论值，是什么因素影响着单摆周期？通过实验验证发现以下几点：5.1摆角对单摆周期的影响[9]当实验中拉开的摆角越大时，单摆运动越混乱，如果摆角等于90度