初中数学教学中培养学生数感的认识与

1初中数学教学中培养学生数感的认识与实践湖州市吴兴实验中学（313000）马建新在新的数学课程标准中,第一次明确地把数感作为学习内容之一,要求初中生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立数感和符号感,发展抽象思维”,并详细指出了它的具体涵义、要求及最终发展目标.可见其重要地位已是广大关心和参与数学教育人士的共识,而在实际教学中我们也不难发现,培养数感之重要性已不容置疑.下文将对数感的渊源、意义、特征以及课堂教学的现状等几个方面进行剖析.1数感的渊源及意义纵览整个人类数学史,简而言之,可谓起之于数,以算为基本手段,以量化为基本形式,着重研究数、形及其相互关系,最终发展为一门人人不可或缺的信息化基础学科的奋斗过程(陈省身语).其间,如能形成一种主动自觉或是自动化地理解和运用数的态度与意识(即数感),无疑将有助于人们深刻体会数学史的发展历程,学会数学地思考问题,善于抓住事物的数学本质,进行数学问题的提出和解决,进而逐步形成独创性的数学思维习惯.这显然也是中小学数学教育的根本性目标和基础工作,一如语言学中的“语感”、音乐中的“乐感”,“数感”更是每个人必须具备的基本素养.[1]“数感”的英文是“NumberSense”,也可以翻译成数觉或数意识.这个在西方数学教育中的常见词语,首次作为我国数学课程的一项培养目标,为我国当前的数学教育传达了一种全新的信息.综而言之,数感是一种心智技能,是对数学对象、材料直接迅速、正确敏锐的感受能力.《数学课程标准》指出,数感主要表现在:理解数的意义并且能用多种方法来表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小关系;能用数来表达和交流信息;能为解决问题而选择适当的算法;能估计运算的结果,并对结果的合理性作出解释.由此可见,良好的数感起着导航器的作用——能在具体的问题情境中迅速洞察数、形、式之间的内在联系而选择适当的解决方案.2数感的特征分析2.1数感是关于数字（量）的直觉经过心理学家研究,在学生能很好地进行估算之前,他们一定发展了一种数量的直觉,一种用数字表现量的感觉.后来这种关于数量的直觉被称为数感.1989年在美国的NCTM中,对数感进行了如下的阐述:“数感是一种关于数字的直觉,它使数字的所有不同的意义的表述得以表现.”2.2数感是关于数概念的网络结构1988年,JudithSowder将数感定义为:“一个具有良好组织的概念网格结构,它能够使一个数字和它相关的操作特性相关联,并且以灵活而有创造性的方式解决数字问题.”这就是说,数感是关于数概念的网络结构,这个网络结构是随着数概念的不断扩大（自然数、小数、有理数、实数、复数）在人脑中逐步形成的,它帮助人脑接纳数学中的其他知识,使人开始以数为基础逐步建构数学知识系统,并且能够自觉选择灵活而有创造性的方式解决数字（量）问题.2.3数感是与数字相关的教育目的的非精确形式1989年,Resnick用非决定论的、开放式的思考对数感进行了阐述:数感抵抗我们已经在学校教育中所设定的以联系被指定目的的精确形式.就是说,作为一项教育目的,对于设定的与数字相关内容的精确形式而言,数感是相应的非精确形式.然而,当它发生的时候,列出数感的主要特征是相对容易的.(1)数感是非算法.那是因为行动的路径不被预先完全叙述.(2)数感是合成物.总路径不是“看得见”（心理上）地来自任何单一观点.(3)数感包括细微的判断力和解释.(4)数感包括多标准的运用,有时各标准之间会彼此冲突.(5)数感时常不确定.不是与任务有关的每件在手边的事物都是已知的.(6)数感包括思考程序的自我规则.(7)数感思考是需要努力的.22.4数感是对于数和运算的一般理解1999年,RobertRey、BarbaraRey等六位学者在对澳大利亚、瑞典、美国以及我国台湾的8~14岁学生数感的评定研究中提出,数感是指“对于数和运算的一般理解,连同这种能力和倾向一起的是使用这种理解去灵活地作出数学判断,并且发展有用、有效率的策略去处理具体的数学情境.它导致一种关于使数字变成一种有意义的实体的数字观点,以及关于数学的操作和成果可以产生感觉的期望.”2.5数感是对于数字（量）的敏感及鉴别能力2002年,我国学者郑毓信认为:为了说明数感,可以先看一些类似词语的用法,如“语感”、“方向感”、“美感”、“质感”等.显然,这些词语都代表了一种相关的能力,但与能力相比,又都含有一种“直感”的涵义,特别是指对于某些特定的事物或现象或属性或方面的敏感性,及相关的鉴别(鉴赏)能力.而后者通常又并非是一种自觉的过程,仿佛已经成了主体的一种本能,一种直接的“感知”,从而在很多情况下是说不清、道不明的.根据以上描述,数感可以理解为对于数字（量）的敏感及鉴别能力.2.6数感是数概念扩展中产生的一种对数学的敏感与理解通过以上对数感的历史发展中各种定义的考察,文[2]认为,数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解.(1)这种敏感与理解是对数字（量）的直觉,它帮助人们对数字（量）的直感迅速地反应为数学问题,使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维.(2)这种敏感与理解是关于数概念的网络结构.这个网络结构帮助人们以数为基础掌握更多的数学知识,以选择灵活而有创新的方式解决数量问题.(3)这种敏感与理解具有非算法、非单一、非确定、非逻辑等特点,其反应时间短,稳定性差,是所需解决的问题与数学思维之间的按钮,其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关.3初中教学中学生数感的培养策略3.1创设民主、开放的教学情境——培养数感的前提当前课堂过分强调知识的系统性、理论性,知识目标高高在上,纯理性的应试内容充斥着整个课堂,学生一个个超出教师预设的新的想法在断喝中被击碎,久而久之,灵气被泯灭了,对数学的兴趣没有了,钻研精神减弱了,有的只是对老师千篇一律的讲解的等待、依赖和对教材、教师思维结果坐享其成的“拿来主义”,哪还有数感呢?因而课堂活动中,教师应主动打破传统观念,发扬教学民主,把学生视为合作学习的伙伴,把数学教学看作是学生自我探索和自我完善的过程,在教学中创设一种尊重学生的观点、问题呈现的环境,激发学生的学习潜能,允许学生标新立异,敢于发表个人意见,以培养学生积极主动参与课堂的精神,使学生的想象力和创造力得到充分地开掘与发挥,进而能多维、多向、多层次地感受数学,去领悟其丰富内涵、去发现新的结论.例如,池塘水面上生长着浮萍,浮萍所占水面面积每天增加1倍.经过100天,整个池塘长满了浮萍.问经过多少天,浮萍所占面积是池塘水面面积的一半？从表面上来看,这是一个指数方程的问题.如果学生具有良好的数感,对“浮萍所占水面面积每天增加1倍.经过100天,整个池塘长满了浮萍”就会产生一种敏感与理解,从而从隐秘形式中发现问题的实质:长满浮萍的前一天,即经过99天,浮萍所占面积正好是池塘水面面积的一半.3.2注重经验、方法积累,引导形成知识网络——形成数感的基础布鲁纳强调:“数学知识不是一个简单的结果,而是一个过程.”学生的年龄特点决定他们的思维在认知活动中正从具体形象思维向抽象逻辑思维发展.数概念是数学概念中的一个最重要的成分,数概念的掌握表明了学生理解了数与算术的本质,从一个侧面反映了思维能力的发展水平,标志着真正意义上的数学学习的开始.可以让学生说一说自己身边的数、生活中用到的数、如何用数表示周围的事物等,使学生感到数学就在身边.在《认识100万》的教学中,我们可以通3AFECDBacb图1过让学生查找几个大数,创设一个现实情景,引起学生对大数的神秘感受,体会大数是生活中客观存在的.比如,如果每人每天节约一分钱,全国13亿人口每天就可以节约1300万元,以一个失学儿童每年500元的学费计算,它可以解决26000失学儿童一年的学费.在这种情境中,学生不仅对大数有了具体的体会,还对节约用钱有了感受.另外,在数学解题中,由于学生的学习空间比较狭小,见识不广,难以形成敏锐的数感,而解题经验、分析方法的长期积累,必然能提高学生的感知能力和领悟能力,稍具经验的学生在解题时只要弄清了试题及图形的结构特征,马上就能预见解题方案.因此,教学中教师应注重加强对基本结构、基本图形的识别和基本方法的运用,并引导学生以此为基础,在脑际迅速发散,整体加工知识,逐步形成解题经验.对学生而言,基本结构、图形、方法等经验性的知识贮存得越多,数感就越强,解题也就越迅速、简捷,学习起来也就轻松多了.3.3鼓励学生自主探索、合作交流、体验发现,全面激活思维——提高数感的关键波利亚曾说:学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现,因为这种发现,理解最深刻,也最容易掌握其内在的规律与联系.虽然课本上的知识都是前人智慧的结晶,但我们不能只让学生依样画葫芦,而是要带学生去感受、去“发现”、去“创造”,以亲身领略数学的美.因此,在教学中应依据学生的学习规律,引导学生利用已有的知识和经验,自己去发现结论.例已知正数111a,b,c,a,b,c,满足条件aabbcck111,求证:.2111abbccak分析通过学生的自主探索以及教师的适时指导,思考利用数形结合的思想方法,构造边长为k的等边三角形(如图1),并令AFa,BDc,CEb,而SAEFSBDFSDCESABC,即sin602sin6012sin6012sin601212ab1ca1bc1k故2111abbccak成立.于是学生一下子就抓住问题的实质,结论的总结由于是学生自己的发现也就水到渠成了.3.4加强实际问题教学,让学生感受到数学的乐趣、价值与力量——拓宽数感的途径教学中教师要特别注重教材的钻研,挖掘数学内容中的生活情景.积极为课本上的数学问题赋予实际意义,使其贴近生活实际,贴近社会热点,从而让学生参与决策设计,使数学知识成为学生看得见、摸得着、听得到的事实,让学生发现数学就在我们身边.体会到数学来源于生活又应用于生活的特点.如:一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸还可以以0.20元的价格退回报社.在一个月内(以30天计算),有20天每天卖出100份,其余l0天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x,每月所获得的利润为函数y.①写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；②报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?此题以现实生活为背景,让数学知识与实际紧密结合,让学生感受到了数学的存在与乐趣,体验到数学的应用价值,从而在实践的具体情境中感受到数学的魅力,树立数感意识.实践证明:只要具有正确、敏锐的数感,通过实践、探索,体会到“该怎样想”和“为什么这样想”,他们的思路就会更宽,学数学、用数学的信心和能力也就会更强.参考文献1杨华.培养学生数感的认识与实践[J].辽宁教育,2003,102滕发祥.数感及其教育价值[J].课程教材贩教法,2004,12__