南京信息工程大学数理方程期终考试试卷

1南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A2008年12月任课教师学生所在系专业年级班级学生姓名学号一、填空题（共60分）1.方程44442242(,)uuufxyxxyy是四阶线性（“线性”或“非线性”）非齐次（“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）；2.方程222220uuatx的全部解可写为(,)uxy=()()fxatgxat（,fg是任意二阶连续可微函数）；（3分）3.二维Laplace方程22220uuuxy的基本解为(,)uxy=2211ln2xy；（3分）4.若(,)iuxt是非齐次波动方程22222(,)iuuafxttx的解，则1(,)iiicuxt满足的微分方程是222221(,)iinuuacfxttx；（3分）5.方程2222223260uuuuuxxyyxy的类型属于双曲型或波动方程，其特征方程为3dydx或1dydx，特征曲线为13yxc和2yxc，可以将其化为标准型的自变量变换为3yxyx，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换(,)(,)uve（其中,待定）；（5分）6.定解问题2,0(,0)(),(,0)()ttxxtuauxtuxxuxxx属于初值问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为(,)uxy=11[()()]()22xatxatxatxatda；定解问题0uxufxn属于2Dirichlet边值问题（“Dirichlet”或“Neumann”），其中为的边界，若其存在古典解，则f一定满足fds；（4分）7.若(,,)hhxt满足初值问题2,0|0,|(,)ttxxtthahxthhfxxt，则0(,)(,,)twxthxtd满足的定解问题为200(,),0|0,|0ttxxtttwawfxtxtwwx（4分）8.对于端点自由的半无界弦振动问题，通过偶延拓（“奇延拓”或“偶延拓”）的方法，可以转化为无界弦振动问题；我们可以借助于三维波动方程初值问题解的Pisson表达式来获得二维波动方程初值问题解的表达式，这种方法称为降维法；（3分）9.用分离变量法求定解问题20,0(0,)0,(,)00(,0)(),(,0)()0ttxxtuauxltutulttuxxuxxxl时，得到关于()Xx的特征值问题是()()00(0)()0XxXxxlXXl，由此可以得到相应的特征值n=2(),1,2,nnl，特征函数()nXx=sinnxl；用分离变量法求定解问题2120,0(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0ttxxtuauxltuttultttuxxuxxxl时，首先通过函数变换(,)(,)(,)uxtvxtwxt，将其转化为(,)vxt的齐次边界条件的定解问题，则可选为(,)wxt=211()()()tttxl；用分离变量法求解稳定的非齐次定解问题20,0(0,)0,(,)20(,0)(),(,0)()0ttxxtuauxxltutulttuxxuxxxl时，通过函数代换(,)(,)()uxtvxtwx，可以将其转化为齐次方程，齐次边界条件的定解问题，3其中()wx=；（8分）10.三维调和方程2222220uuuuxyz的解的积分表达式为0()uM=，其中0M，为的边界，若区域上的Green函数记为0(,)GMM，则（1）0(,)GMMdSn=；(2)定解问题0|()xuxufx的解的表达式为0()uM=，其中n为边界上的单位外法向量；（6分）11.作出四分之一平面(0,0)xy的Green函数为；（3分）12.用Fourier变换求解偏微分方程定解问题时，是通过Fourier变换把解偏微分方程的定解问题转化为含参数的常微分方程的定解问题，则对KdV方程的初值问题20,06(,0)()txxxxahaxtxfxx关于x进行Fourier变换后的形式为；（3分）13.()fx的Fourier变换定义为()F=，()fx与()gx的卷积定义为()fgx=，若()(()),()(())FFfxGFgx，则1(()())FFG=；（3分）14.||[]xFe=；1[]tFe=；（4分）15.已知2241[]2axaFeea，则2[]axbxcFe=；221[]atFe=；（4分）二，用D’Alembert公式求解下列弦振动方程;（10分）4xxxuxxutxuautxxtt)0,(,sin)0,(0,2三，（1）写出建立上半平面Green函数的详细过程；（2）用Green函数法求解下列定解问题;（15分）000|()xxyyyuuyufx四，利用Fourier变换求解下列定解问题；（15分）22,0(,0)1txxucuxtuxxx22222221122122()(),11ln2(,)30,03(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0(,)(,)(),1,2,siinttxxtfxatgxatfgxyuuacfxttxyxcyxcuauxltyxuttultttyxuxxuxxxlnuvenl200211in11[()()]()22(,),0|0,|0()()()xatxatttxxtttnxlxatxatdawawfxtxtfdswwxtttxl