南京师大附中2014届高三模拟考试数学及答案

南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第1页共13页(第3题图)频率组距时速(km/h)8070605040300.0390.0280.0180.0100.005绝密★启用前南京师大附中2014届高三模拟考试数学2014.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式为V＝13Sh，其中S是锥体的底面面积，h是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．．1．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜4，x∈N}，则A∩B＝▲．2．若复数1＋ai2－i(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a＝▲．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球，从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是▲．6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的▲条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数()sin3cos(π0)fxxxx，的单调增区间是▲．8．设实数x，y，b满足2x－y≥0，y≥x，y≥－x＋b，若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为▲．9．设a，b均为正实数，则112abab的最小值是▲．10．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f(1)＜f(lg(2x))的x的取值范围是▲．(第4题图)NY结束输出sn≤10开始南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第2页共13页11．在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，若D点在斜边BC上，CD＝2DB，则AB→·AD→的值为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，点M是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点．若△PQM是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是▲．13．对于定义域内的任意实数x，函数f(x)＝x2+(a－1)x－2a+22x2+ax－2a的值恒为正数，则实数a的取值范围是▲．14．记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式a2n＋S2nn2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为▲．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b－3c3a＝cosCcosA．（1）求角A的值；（2）若角6B，BC边上的中线AM=7，求ABC的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．(第17题图)图EABCDP(第16题图)图南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第3页共13页18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A1(－2，0)，A2(2，0)．过点D(1，0)的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．（1）求实数a，b的值；（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P1，P2使得△P1MN和△P2MN的面积为S，求S的取值范围；（3）求证：点G在一条定直线上．19．（本小题满分16分）已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.（1）若a4＝b3，b4－b3＝m.①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；②若数列{bn}是唯一的，求m的值；（2）若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值.(第18题图)xyGA1NDA2M南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第4页共13页DCBA(第21—A题图)20．（本小题满分16分）设a是实数，函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x－2lnx．（1）当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；（2）当a＝2时，过原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D上的函数y＝g(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，若g(x)－h(x)x－x0＜0在D内恒成立，则称点P为函数y＝g(x)的“巧点”．当a＝－14时，试问函数y＝f(x)是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说明理由．南京师大附中2014届高三模拟考试数学（附加题）2014.0521．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．（几何证明选讲选做题）如图，设AB、CD是圆O的两条弦，直线AB是线段CD的垂直平分线．已知6,25ABCD，求线段AC的长度．B．（矩阵与变换选做题）设矩阵Aabcd，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为111，属于特征值24的一个特征向量为232，求ad－bc的值．南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第5页共13页C．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设点A，B分别在曲线C1：x＝3＋cosθy＝4＋sinθ（θ为参数）和曲线C2：ρ＝1上，求线段AB的最小值．D．（不等式选做题）设a，b，c均为正数，abc＝1．求证：1a＋1b＋1c≥a＋b＋c.22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为an．当n≥2时，求数列{an}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第6页共13页南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}；2．2；3．77；4．5；5．910；6．必要不充分；7．[－π6,0]；8．94；9．4；10．(0，120)∪(5，+∞)；11．24；12．（0，6－22）；13．－7＜a≤0或a＝2；14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为(23)cos3cosbcAaC，由正弦定理得(2sin3sin)cos3sincosBCAAC，………………2分即2sincos3sincos3sincosBAACCA=3sin(A+C)．………………4分因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)，所以2sincos3sinBAB．南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第7页共13页因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以3cos2A，因为0A，所以6A．………………7分（2）由（1）知π6AB，所以ACBC，23C．………………8分设ACx，则12MCx，又7.AM在△AMC中，由余弦定理得2222cos,ACMCACMCCAM即222()2cos120(7),22xxxxo解得x＝2.………………12分故212sin3.23ABCSx………………14分16．解析:（1）因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，…………………2分又∠ACD＝90°，则CDAC，而PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，因为CD平面ACD，………………4分所以，平面PAC⊥平面PCD．………………7分（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM平面PAB，PA平面PAB，所以EM∥平面PAB．………………9分在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC＝∠CAD，所以∠BAC＝∠ACM，则MC∥AB．因为MC平面PAB，AB平面PAB，所以MC∥平面PAB．………………12分而EM∩MC＝M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC平面EMC，从而EC∥平面PAB．………………14分证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC＝∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC平面PAB，PN平面PAB，所以EC∥平面PAB．MEABCDPNEABCDP南京师大附中2014届高三模拟考试数学卷第8页共13页………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为h0，高为h．由题意得：36x＋h0＝10，解得h0＝10－36x．………………2分则h＝h02－x212＝(10－36x)2－x212＝100－1033x，x∈(0,103)．………………5分所以，正三棱锥体积V＝13Sh＝13×34x2×100－1033x＝3x212100－1033x．………………8分设y＝V2＝x448(100－1033x)＝100x448－10x5483，求导得y′＝100x312－50x4483，令y′＝0，得x＝83，………………10分当x∈(0，83)时，y′＞0，y随着x的增加而增大，当x∈(83，103)时，y′＜0，y随着x的增加而减小，所以，当x＝83cm时，y取得极大值也是最大值．………………12分此时y＝15360，所以Vmax＝3215cm3．答：当底面边长为83cm时，正三棱锥的最大体积为3215cm3．………………14分18．解析:（1）由题设可知a＝2．………………1分因为e＝32，即ca＝32，所以c＝3．又因为b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以b＝1．………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线MN的方程为y＝x－1．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组x24＋y2＝1y＝x－1，消去y可得5x