初等数学专题论文

初等数学研究期末专题论文函数方程与函数的奇偶性摘要函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。关键词：函数奇偶性方程性质1.关于函数奇偶性的定义（1）一般地，如果对函数xf的定义域内任意一个x都有0fxfx（xfxf），那么函数xf就叫做偶函数，如：2)(xxf，xxf。（2）一般地，如果对函数xf的定义域内任意任意一个x都有0xfxf(xfxf)，那么函数xf就叫做奇函数，如：xxf,xxf1。例1：判断函数)1lg(2xxxf的奇偶性。解：xxx221函数xf的定义域为R又)1lg()1lg(22xxxxxfxf01lg)1lg(22xx。xf为奇函数。例2：判断函数xxeexf)(的奇偶性。解：显然)(xf的定义域为R又)()(xfeexfxx)(xf为偶函数。2.函数奇偶性的几个性质2.1对称性函数的定义域关于原点对称如：2.2整体性奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立。2.3可逆性)()()(xfxfxf是偶函数)()()(xfxfxf是奇函数2.4等价性0)()()()(xfxfxfxf0)()()()(xfxfxfxf2.5奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。2.6可分性根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。3.判断函数奇偶性的方法3.1定义法1．任取自变量的一个值x，x是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x但在0x没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(xf存在，则进行下一步。2．)()(xfxf着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证0)()(xfxf，1)()(xfxf，偶函数奇函数)(20)()(xfxfxf判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(xfxf哪一个成立。（①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件，若两个条件同时成立，联合起来，即成为充要条件。）具体步骤如下：若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则取决于数量关系)()(xfxf怎样成立？若)()(xfxf成立，则为偶函数；若)()(xfxf成立，则为奇函数；若)()(xfxf成立，则既是奇函数又是偶函数；若)()(xfxf都不成立，则为非奇非偶函数。例3：确定下列函数的奇偶性（1）xxxxeeeexf)(（2）xxxf22sincos)(（3）11)(22xxxf（4）1)(3xxxxf解：（1）显然)(xf的定义域为,，关于原点对称，且1)()(xxxxxxxxeeeeeeeexfxf)(xf为奇函数。解：（2）)(xf的定义域为R,关于原点对称，且1sincos)(22xxxf)()(xfxf)(xf为偶函数。解：（3）)(xf定义域为1x，关于原点对称，且0)(xf)()(xfxf)(xf既是奇函数又是偶函数。解：（4）)(xf的定义域为,11,，不关于原点对称，)(xf为非奇非偶函数。3.2图像法函数为奇函数图像关于原点对称；函数为偶函数图像关于y轴对称。例4：根据函数的图像，判断函数的奇偶性。图（1）图（2）图（3）图（4）解：（1）为偶函数。（2），（3）为奇函数。（4）为非奇非偶函数。3.3性质法利用一些已知函数的奇偶性及以下准则来判断（前提是两个数的定义域交集不为空集）。性质1：偶函数的和，差，积，商（分母不为零）仍为偶函数。性质2：奇函数的和，差仍为奇函数。性质3：奇（偶）数个奇函数的积为奇（偶）函数。性质4：一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。性质5：对于复合函数))(()(xgfxF有：（1）若)(xg为偶函数，则)(xF为偶函数。（2）若)(xg为奇函数，)(xf也为奇函数，则)(xF为奇函数。（3）若)(xg为奇函数，)(xf为偶函数，则)(xF为偶函数。性质6：)()()(xfxfxF为偶函数，而)()()(xfxfxF为奇函数。例5：判断下列函数的奇偶性（1）xxxfcos)(（2）xxfln)(（3）xxxf3)(（4）xxxxeeeexxf)(（5）3311)(xxxf（6）xxxf212)(解：（1）)(xf为定义域在R上的两个偶函数之和，)(xf为偶函数。解：（2）)(xf的定义域为,00,D，又x在D上为偶函数由性质5(1)可知，)(xf在D上为偶函数。解：（3）)(xf为定义域在R上的两个奇函数之和，)(xf为奇函数。解：（4）xxxxeeeexxg)(为R上的奇函数，由性质3可知，)()(xgxxf为偶函数。解：（5）33331111)(xxxxxf由性质6知)(xf为R上的偶函数。解：（6）xxxxxf22212)(由性质6知)(xf为R上的奇函数。3.4对称曲线法奇偶函数图象的性质可以看成是一般曲线对称性的特例，把函数表达式改写成曲线方程0),(yxF，则有偶函数0),(0),(yxFyxF同时成立，奇函数0),(0),(yxFyxF同时成立。这个方法对于分段定义的函数特别方便。例6：确定下列函数的奇偶性。（1）0)1(0)1()(xxxxxxxf（2）00)(xexexfxx解：(1)对称曲线法：若把0x时函数表达式改写成0)1(),(:1xxyyxFC,则0x的表达式为0)1(),(:2xxyyxFC，这表明1C，2C关于y轴对称)(xf为偶函数。解：(2)对称曲线法：同(1):当0x时，0),(:1yeyxFCx当0x时，0),(:2yeyxFCx)(xf关于原点对称)(xf为奇函数。3.5求导法可微奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数，反之也对。证明：若函数)(xf为偶函数，则)()(xfxf，两边同时求导得)()()()(xfxfxxf，所以)()(xfxf，所以)(xf为奇函数；若函数)(xf为奇函数，则)()(xfxf。两边同时求导得)()(xfxf所以)()(xfxf，所以函数)(xf为偶函数。例7．确定下列函数的奇偶性（1）xxxf11ln)(（2）xxfln)(解：（1）212)(xxf为偶函数，)(xf为奇函数。解：（2）xxf1)(为奇函数，)(xf为偶函数。4.函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小、求函数的解析式、讨论函数的单调性、求参数的值等，现分别举例说明如下：4.1利用奇偶性求函数值例8．已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，求)2(f的值。解：令8)()(xgxf，则bxaxxxg35)(为奇函数108)2()2(gf18)2()2(gg18)2(g168)2()2(gf4.2利用奇偶性比较大小例9．已知偶函数)(xf在0，上为减函数，试比较)2(f、)1(f、)3(f的大小关系。解：偶函数)(xf在0，上为减函数,)(xf在，0上为增函数)1()2()3(fff又)(xf为偶函数)2()2(ff)1()2()3(fff4.3利用奇偶性求解析式例10．已知)(xf为奇函数,当0x时，1)(xxf，求0x时，函数)(xf的解析式？解：当0x时，0x又)(xf为奇函数)(1)(xfxxf1)(xxf当0x时，1)(xxf4.4利用奇偶性讨论函数的单调性例11．已知1)1()(2xkkxxf为偶函数，试讨论)(xf的单调区间？解：)(xf为偶函数)()(xfxf1)1()(1)1(22xkxkxkkx1k1)(2xxf)(xf在0,上为减函数，在,0上为增函数4.5利用奇偶性判断函数的奇偶性例12．已知cbxaxxf2)(为偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶性解：)(xf为偶函数)()(xfxfcbxxacbxax22)(0bcxaxxg3)()()(3xgcxaxxg)(xg为奇函数。4.6利用奇偶性求参数的取值范围例13.已知)(xf为定义在R上的偶函数，且)(xf在0，上为减函数，若)32()1(22aafaf，求a的取值范围？解：偶函数)(xf在0，上为减函数)(xf在，0上为增函数又02)1(3201222aaaa且13222aaa1a4.7利用奇偶性求代数式的值例14.已知022)2(55yxxyx，求yx的值解：等式可变形为)()2()2(55xxyxyx令tttf5)(为奇函数)()()2(xfxfyxf又)(tf为单调递增函数02yxxyx即0yx4.8利用奇偶性解方程例15.在实数范围内解方程04332133xxx解：原方程可化为0)32(32)1(133xxxx令1xt，则化为0)12(1233tttt设tttf3)(，则化为0)12()(tftf)(tf为单调递增的奇函数)()()12(tftftf3112ttt341tx即原方程的解为34x4.8利用奇偶性证明不等式例16.证明不等式)0(21xxexx解：证明：令21)(xexxfx)(2121)1(2121)(xfxexxexexxexexexxfxxxxxx)(xf为偶函数当0x时，01xe，01xex，02x，021)(xexxfx；当0x时，0x，0)()(xfxf当0x时，恒有0)(xf)0(21xxexx参考文献[1]数学教学研究[J]王良成四川1992年第6期14～15[2]数学教学研究[J]罗增懦陕西1987年第3期41～44[3]数学教学研究[J]裴温泉甘肃2001年第8期24～25[4]数学教学通讯[J]曾桂文湖北1989年第5期17～18[5]数学通报[J]丁德麟江苏1989年第2期8～11[6]数学通讯[J]陶智明武汉1998年第7期18～19[7]数学教学研究[J]曹保清江苏2003年第5期40～41[8]中学数学教学辞典[M]郑启明渐江科学技术出版社1992年2月41～45